ITA Matemática_2001

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INSTITUTO TECNOL��GICO DE AERON��UTICA VESTIBULAR 2001 PROVA DE MATEM��TICA INSTRU����ES 1. Esta prova tem dura����o de tr��s horas e trinta minutos. 2. N��o �� permitido deixar local de exame antes de decorridas duas horas do in��cio da prova. 3. N��o haver�� tempo suplementar para preenchimento da folha de leitura ��ptica. 4. Voc�� recebeu este caderno de quest��es, um caderno de solu����es e uma folha de rascunho. Verifique se caderno de quest��es e de solu����es est��o completos. Folhas de rascunho adicionais ser��o fornecidas mediante a devolu����o da anterior. Voc�� poder�� usar apenas l��pis (ou lapiseira), caneta, borracha e r��gua. N��o �� permitido usar quaisquer outros materials escolares (tais como compasso, esquadros, transferidores, calculadora eletr��nica, escala). 6. Esta prova �� composta de 25 quest��es de m��ltipla escolha. As quest��es de 16 a 25 devem ser tamb��m resolvidas no caderno de solu����es. Numere agora sequencialmente de 16 a 25, a partir do verso da capa, as folhas do caderno de solu����es. n��mero atribu��do a cada p��gina corresponde ao da quest��o resolvida. 7. Cada quest��o admite uma ��nica resposta. 8. As resolu����es das quest��es 16 a 25 podem ser feitas a l��pis e devem ser apresentadas de forma clara, concisa e completa. Respeite a ordem e espa��o dispon��vel no caderno de solu����es. Sempre que poss��vel, use desenhos e gr��ficos. 9. As 25 quest��es de m��ltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e a resolu����o das quest��es de 16 a 25, aos 50% restantes. 10. Antes do final da prova, voc�� receber�� uma folha de leitura ��ptica. Usando caneta preta, assinale a op����o correspondente �� resposta que voc�� atribuiu a cada uma das 25 quest��es de m��ltipla escolha. Procure preencher todo campo dispon��vel para sua resposta, sem os limites. 11. Na ��ltima p��gina do caderno de solu����es, existe uma reprodu����o da folha de leitura ��ptica, que dever�� ser preenchida com um simples tra��o a l��pis, durante a realiza����o da prova. 12. Cuidado para n��o errar no preenchimento da folha de leitura ��ptica. N��o obstante, se isto ocorrer, avise fiscal. Ele lhe fornecer�� uma folha extra, com cabe��alho devidamente preenchido. 13. A n��o devolu����o do caderno de solu����es e/ou da folha de leitura ��ptica implicar�� a desclassifica����o do candidato. 14. Aguarde aviso para iniciar a prova. Ao termin��-la, avise fiscal e aguarde-o no seu lugar.As quest��es de 01 a 15 n��o devem ser resolvidas no caderno de solu����es. Para respond��-las, marque a op����o escolhida para cada quest��o na folha de leitura ��ptica e tamb��m na ��ltima p��gina do caderno de solu����es. R �� o conjunto dos n��meros reais. denota conjunto complementar de A C R em R. �� a matriz transposta da matriz (a,b) representa par ordenado. [a,b] = E ; a x , = E ;Quest��o 04. n��mero complexo 1 , sen sen 2a tem argumento ��/4. Neste caso, a �� igual a: A ( ) 6 E() 9 Quest��o 05. Um tri��ngulo tem lados medindo 3 4 e 5 cent��metros. A partir dele, constr��i-se uma de tri��ngulos do seguinte modo: pontos m��dios dos lados de um tri��ngulo s��o os v��rtices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, valor em cent��metros quadrados que est�� mais pr��ximo da soma das ��reas dos 78 primeiros tri��ngulos assim constru��dos, incluindo tri��ngulo inicial, ��: D 11 Quest��o 06. Sabendo que �� de 1024 a soma dos coeficientes do polin��mio em x e obtido pelo desenvolvimento do bin��mio temos que o n��mero de arranjos sem repeti����o de m elementos, tomados D ( ) 100 Quest��o 07. A respeito das combina����es 2n 2n = e = n n-1 temos que, para cada n = 1,2,3,..., a diferen��a �� igual a: n+1 n! n+1 2n n+1 n 2 n+1 1 a���Quest��o 08. Sejam A e B matrizes n X n , e B uma matriz sim��trica. Dadas as afirma����es: (I) AB + BAT �� sim��trica. (II) (A + B) �� sim��trica. (III) �� sim��trica. temos que: A apenas (I) �� verdadeira. apenas (II) �� verdadeira. C apenas (III) �� verdadeira. D apenas (I) e (III) s��o verdadeiras. E todas as afirma����es s��o verdadeiras. Quest��o 09. Considere a matriz 1111 1234 A = 1 8 27 64 A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A ��: E()5 Quest��o 10. Sendo e �� OS ��ngulos agudos de um tri��ngulo ret��ngulo, e sabendo que 2 2�� = 0, ent��o sen a �� igual a: A ������ 2 2 C ( ) 2 D 4 E zero Quest��o 11. raio da base de um cone circular reto �� igual �� m��dia aritm��tica da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que volume do cone �� 128�� temos que raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros: C()8e7Quest��o 12. De dois pol��gonos convexos, um tem a mais que outro 6 lados e 39 diagonais. Ent��o, a soma total dos n��meros de v��rtices e de diagonais dos dois pol��gonos �� igual a: Quest��o 13. Seja ponto A = (r,0), r > 0.0 lugar geom��trico dos pontos P = (x,y) tais que �� de 3r�� a diferen��a entre quadrado da dist��ncia de P a A e dobro do quadrado da dist��ncia de P �� reta �� : A uma circunfer��ncia centrada em (r, com raio r. B uma elipse centrada em (r, com semi-eixos valendo re 2r. uma par��bola com v��rtice em duas retas paralelas distando uma da outra. E uma hip��rbole centrada em (r, -2r) com semi-eixos valendo r. Quest��o 14. Sejam X,Y e Z subconjuntos pr��prios de R, n��o-vazios. Com respeito ��s afirma����es: (II) Se ent��o = U (III) Se CZ ent��o temos que: A apenas (I) �� verdadeira. apenas (I) e (II) s��o verdadeiras. C apenas (I) e (III) s��o verdadeiras. apenas (II) e (III) s��o verdadeiras. E ( ) todas s��o verdadeiras.Quest��o 15. Se R �� tal que , 1[,Quest��o 17. O conjunto de todos valores de m para quais a fun����o est�� definida e �� n��o-negativa para todo x real ��: A ( ) ( ) ( ) Quest��o 18. A parte imagin��ria de ((1 + 2x) + i sen k inteiro positivo, x real, �� A ( ) x x C kx. x D ( ) x E sen kx. x Quest��o 19. polin��mio com coeficientes reais = + + + + a���x + tem duas ra��zes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas ra��zes s��o 2 e i. Ent��o, a soma dos coeficientes �� igual a: B -6 -1 Quest��o 20. Seja m E R m>0. Considere sistema produto dos valores de m para os quais sistema admite solu����o n��o-trivial ��: D()8 E ( )Quest��o 21. Considere OS n��meros de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1,2,4,5,7 e 8. Quantos destes n��meros s��o ��mpares e come��am com um d��gito par? A 375 545 D 585 E 625 Quest��o 22. Sendo dado = e = b��� ent��o, In 2 3 In 4 5 2n + 2 3 4 5 2n �� igual a: A ( ) B ( ) 2a��� - b��� ( ) - b��� D ( ) b��� - Quest��o 23. A raz��o entre a ��rea da base de uma pir��mide regular de base quadrada e a ��rea de uma das faces �� 2. Sabendo que volume da pir��mide �� de 12 m��, temos que a altura da pir��mide mede (em metros): E()5 Quest��o 24. Num trap��zio ret��ngulo circunscrit��vel, a soma dos dois lados paralelos �� igual a 18 cm e a diferen��a dos dois outros lados �� igual a 2 cm. Se �� o raio da circunfer��ncia inscrita e a �� comprimento do menor lado do trap��zio, ent��o a soma a +r (em cm) �� igual a: 10 Quest��o 25. coeficiente angular da reta tangente �� elipse 16 no primeiro quadrante e que corta eixo das abcissas no ponto P = (8,0) ��: A 3 3 D 4 4