Para a matriz simétrica -3 2 -2 0; 2 -1 3 1; -2 3 8 -1; 0 1 -1 41calcule o determinante da submatriz principal A3.​​​​​​​

Para calcular o determinante da submatriz principal \( A_3 \) da matriz simétrica dada, precisamos considerar os primeiros três elementos da matriz. A matriz original é: \[ \begin{bmatrix} -3 & 2 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & 3 & 8 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 41 \end{bmatrix} \] A submatriz \( A_3 \) é: \[ A_3 = \begin{bmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -2 & 3 & 8 \end{bmatrix} \] Agora, vamos calcular o determinante de \( A_3 \) usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Usando a regra de Sarrus, temos: \[ \text{det}(A_3) = -3 \cdot (-1) \cdot 8 + 2 \cdot 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot 2 \cdot 3 - \left( (-2) \cdot (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot 3 \cdot -3 + 8 \cdot 2 \cdot 0 \right) \] Calculando cada termo: 1. \( -3 \cdot (-1) \cdot 8 = 24 \) 2. \( 2 \cdot 3 \cdot (-2) = -12 \) 3. \( -2 \cdot 2 \cdot 3 = -12 \) 4. \( (-2) \cdot (-1) \cdot (-2) = -4 \) 5. \( 3 \cdot 3 \cdot -3 = -27 \) 6. \( 8 \cdot 2 \cdot 0 = 0 \) Agora, somando os termos: \[ \text{det}(A_3) = 24 - 12 - 12 - (-4 - 27 + 0) \] \[ = 24 - 12 - 12 + 4 + 27 \] \[ = 24 - 24 + 31 = 31 \] Portanto, o determinante da submatriz principal \( A_3 \) é \( 31 \).