Qual a derivada da função: y = arc sen(x+ 1)? a) y ′ = 1√1−(x+1)2 b) y ′ = 1√1+(x+1)2 c) y ′ = 2x√1+(x+1)2 d) y ′ = x√1−(x+1)2 e) y ′ = 1√1+(x+1)2

Para encontrar a derivada da função \( y = \arcsen(x + 1) \), utilizamos a regra da derivada da função arco seno. A derivada de \( \arcsen(u) \) em relação a \( u \) é dada por: \[ \frac{d}{du} \arcsen(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \] Neste caso, \( u = x + 1 \). Portanto, a derivada de \( y \) em relação a \( x \) será: \[ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (x + 1)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x + 1) \] Como a derivada de \( x + 1 \) é 1, temos: \[ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (x + 1)^2}} \] Analisando as alternativas: a) \( y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (x + 1)^2}} \) - Correta. b) \( y' = \frac{1}{\sqrt{1 + (x + 1)^2}} \) - Incorreta. c) \( y' = \frac{2x}{\sqrt{1 + (x + 1)^2}} \) - Incorreta. d) \( y' = \frac{x}{\sqrt{1 - (x + 1)^2}} \) - Incorreta. e) \( y' = \frac{1}{\sqrt{1 + (x + 1)^2}} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \( y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (x + 1)^2}} \).