Para resolver a integral \( S = \int (2\sec^2 y + \frac{3}{1+y^2} + 2y) \, dy \), vamos integrar cada termo separadamente. 1. Integral de \( 2\sec^2 y \): \[ \int 2\sec^2 y \, dy = 2\tan y + C_1 \] 2. Integral de \( \frac{3}{1+y^2} \): \[ \int \frac{3}{1+y^2} \, dy = 3\arctan y + C_2 \] 3. Integral de \( 2y \): \[ \int 2y \, dy = y^2 + C_3 \] Agora, somando todas as integrais, temos: \[ S = 2\tan y + 3\arctan y + y^2 + C \] onde \( C \) é uma constante real. Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( 2\tan y + 3\arctan y + y + k \) - Não é a resposta correta, pois o termo \( y \) não está correto. B) \( 2\sen y + 3\arcsen y + 2y + k \) - Não é a resposta correta, pois não corresponde às integrais calculadas. C) \( 2\tan y - \arctan y - 2y + k \) - Não é a resposta correta, pois não corresponde às integrais calculadas. D) \( 2\cos y + 3\arsen y + y + k \) - Não é a resposta correta, pois não corresponde às integrais calculadas. E) \( 2\sen y + 3\arctan y + y + k \) - Não é a resposta correta, pois não corresponde às integrais calculadas. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente ao resultado da integral que encontramos. Portanto, parece que há um erro nas opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!