Para determinar o volume do sólido \( S \) limitado pelo plano \( z = 0 \) e pelo paraboloide \( z = a - x^2 - y^2 \), podemos usar a integração dupla. 1. Identificar a região de integração: O paraboloide intercepta o plano \( z = 0 \) quando \( a - x^2 - y^2 = 0 \), ou seja, \( x^2 + y^2 = a \). Isso define um círculo de raio \( \sqrt{a} \) no plano \( xy \). 2. Configurar a integral: O volume \( V \) do sólido pode ser encontrado pela integral dupla: \[ V = \iint_R (a - x^2 - y^2) \, dA \] onde \( R \) é a região circular definida por \( x^2 + y^2 \leq a \). 3. Trocar para coordenadas polares: Em coordenadas polares, temos \( x = r \cos \theta \) e \( y = r \sin \theta \), e a área diferencial \( dA \) se torna \( r \, dr \, d\theta \). A integral se torna: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{a}} \left( a - r^2 \right) r \, dr \, d\theta \] 4. Calcular a integral: - Primeiro, calcule a integral interna: \[ \int_0^{\sqrt{a}} (a r - r^3) \, dr = \left[ \frac{a r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^{\sqrt{a}} = \left( \frac{a (\sqrt{a})^2}{2} - \frac{(\sqrt{a})^4}{4} \right) = \left( \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} \right) = \frac{a^2}{4} \] - Agora, calcule a integral externa: \[ V = \int_0^{2\pi} \frac{a^2}{4} \, d\theta = \frac{a^2}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi a^2}{2} \] 5. Resultado final: O volume do sólido \( S \) é: \[ V = \frac{\pi a^2}{2} \] Esse é o valor do volume do sólido limitado pelo plano \( z = 0 \) e pelo paraboloide \( z = a - x^2 - y^2 \).