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A
B
C
D
E
A
B
C
1 Marcar para revisão
A integração dupla é usada em problemas de
otimização, como o cálculo de áreas e volumes
mínimos e máximos. Seja  determine o volume
do sólido  limitado pelo plano  e pelo
paraboloide .
a > 0
S z = 0
z = a − x2 − y2


.πa2
3


.3πa2
2


.πa2
2


.πa
2


.a2
2
2 Marcar para revisão
Determine o valor de 
1
∫
0
2
∫
0
(2yx + 3yx2) dxdy
1
3
4
00
hora
: 49
min
: 56
seg
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Questão 1 de 10
Em branco (10)
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1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
SM2 Cálculo De Múltiplas Variáveis
D
E
A
B
C
D
E
6
8
3 Marcar para revisão
A integração dupla é usada em problemas de
otimização, como o cálculo de áreas e volumes
mínimos e máximos. Calcule as coordenadas  e 
 do centro de massa de um conjunto , sendo B o
conjunto de todos  tais que  e a
densidade é constante e igual a .
x y
B
(x, y) x3 ≤ y ≤ x
1


( , ) .7
15
8
21


( , ) .8
21
8
15


( , ) .8
15
8
21


( , ) .8
15
8
15


( , ) .8
21
8
21
4 Marcar para revisão
A integração dupla é usada em problemas de
otimização, como o cálculo de áreas e volumes
mínimos e máximos. Seja  determine o volume
do sólido  limitado pelo plano  e pelo
paraboloide .
a > 0
S z = 0
z = a − x2 − y2
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E


.πa2
3


.3πa2
2


.πa2
2


.πa
2


.a2
2
5 Marcar para revisão
Determine o volume do sólido definido pelo cilindro
parabólico e pelos planos x = 4, z = 6 e z = 0.x = y2
16
32
64
128
256
6 Marcar para revisão
A integração tripla é uma das ferramentas
fundamentais para o cálculo de volumes. Determine o
volume de , sabendo que  compreende
a região contida dentro do cilindro ,
∭  
E
x2dV E
x2 + y2 = 1
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
acima do plano  e abaixo do cone
 .  
z = 0
z2 = 4x2 + 4y2


.2π
5


.2
5


.π
5


.5π
2
π.
7 Marcar para revisão


Uma integral tripla é uma extensão de uma integral
dupla, que é usada para calcular a área de
superfícies bidimensionais. Dessa forma, calcule a
integral .∫ π
0 ∫ π
0 ∫ π
0 cos (u + v + w) dudvdw


.π
2
π.
2π.


.3π
2
0.
A
B
C
D
E
A
B
C
8 Marcar para revisão
Uma ferramenta matemática muito importante é a
integral de linha, pois permite trabalhar com um
campo escalar, quando se depende de várias
variáveis. Considerando o caminho 
definido por  . O
comprimento L(g) do caminho g é:
g : [0, 1] → R
2
g(t) = (etcos(2πt), etsen(2πt))
√1 + 4π2(e + 1)
√1 + 4π2(e − 1)
√1 + 4π2(e − 2)
√1 + 4π2(e + 2)


√1 + 4π2(e − )1
2
9 Marcar para revisão
Determine a integral de linha  sendo o
campo vetorial   e a
curva C definida pela equação  ,
para 0≤t≤1.
∫
C
→
F . d
→
γ
→
F (x, y, z) = x2zx̂ + 2xzŷ + x2ẑ
γ(t) = (t, t2, 2t2)
1
2
3
D
E
A
B
C
D
E
4
5
10 Marcar para revisão
Sejam os campos vetoriais
, 
 e
. Determine o módulo da
imagem do campo vetorial , para o ponto
(x,y,z) = (0,1, - 1). Sabe-se que
.
→
G (u, v,w) = ⟨u + w, v + u,w + 1⟩
→
F (x, y, z) = ⟨x − 2y, 2y − z,x + y⟩
→
H (u, v) = ⟨2 − u2, v2, 3v⟩
→
Q (x, y, z)
→
Q (x, y, z) = 2
→
G (x, y, z) × (
→
F (x, y, z) +
→
H (x, y))
6√3
√3
6√2
8√3
4√2