Para resolver a equação diferencial exata dada, precisamos primeiro reescrevê-la na forma padrão e verificar se ela é exata. A equação é: \[ 2xy \, dx + x^2 \, dy = 0 \] Podemos reescrever isso como: \[ 2xy \, dx + x^2 \, dy = 0 \] Agora, vamos identificar \( M(x, y) = 2xy \) e \( N(x, y) = x^2 \). Para que a equação seja exata, precisamos verificar se: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \] Calculando: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = 2x \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = 2x \] Como as duas derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Agora, para encontrar a relação entre \( x \) e \( y \), integramos \( M \) em relação a \( x \) e \( N \) em relação a \( y \): 1. Integrando \( M \): \[ \int 2xy \, dx = x^2y + C(y) \] 2. Integrando \( N \): \[ \int x^2 \, dy = x^2y + C(x) \] Igualando as duas integrais, temos: \[ x^2y + C(y) = x^2y + C(x) \] Assim, a relação entre \( x \) e \( y \) pode ser obtida a partir da equação resultante. Agora, vamos analisar as alternativas: A) A relação entre X e y é - (incompleta) B) A relação entre X e y é \( y^2 + = \) - (incompleta) C) A relação entre X e y é \( 2xy \) - (não é uma relação completa) D) A relação entre X e y é \( 2xy^2 + \) - (incompleta) E) A relação entre X e y é \( x^2y \) - (parece ser a mais próxima) A relação correta, considerando a forma da equação e a análise, é a alternativa E) A relação entre X e y é \( x^2y \).