Resolva o seguinte problema de Cauchy: y′= x^2y^ ,5com y(0) = 0.

Para resolver o problema de Cauchy dado pela equação diferencial \( y' = x^2 y^{0.5} \) com a condição inicial \( y(0) = 0 \), vamos seguir os passos: 1. Separação de Variáveis: Podemos reescrever a equação como: \[ \frac{dy}{dx} = x^2 y^{0.5} \] Isso nos permite separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y^{0.5}} = x^2 dx \] 2. Integração: Agora, integramos ambos os lados: \[ \int y^{-0.5} dy = \int x^2 dx \] A integral do lado esquerdo é \( 2y^{0.5} \) e do lado direito é \( \frac{x^3}{3} + C \): \[ 2y^{0.5} = \frac{x^3}{3} + C \] 3. Isolando \( y \): Agora, isolamos \( y \): \[ y^{0.5} = \frac{x^3}{6} + \frac{C}{2} \] Elevando ao quadrado: \[ y = \left( \frac{x^3}{6} + \frac{C}{2} \right)^2 \] 4. Aplicando a Condição Inicial: Usamos a condição inicial \( y(0) = 0 \): \[ 0 = \left( \frac{0^3}{6} + \frac{C}{2} \right)^2 \] Isso implica que \( \frac{C}{2} = 0 \), ou seja, \( C = 0 \). 5. Solução Final: Substituindo \( C \) na expressão de \( y \): \[ y = \left( \frac{x^3}{6} \right)^2 = \frac{x^6}{36} \] Portanto, a solução do problema de Cauchy é: \[ y(x) = \frac{x^6}{36} \]