Resolva os seguintes problemas de Cauchy: y′= x^2y5 com y(0) = 0

Para resolver o problema de Cauchy dado pela equação diferencial \( y' = x^2 y^5 \) com a condição inicial \( y(0) = 0 \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Separação de Variáveis: Reescrevemos a equação na forma separável: \[ \frac{dy}{y^5} = x^2 dx \] 2. Integração: Integramos ambos os lados: \[ \int \frac{dy}{y^5} = \int x^2 dx \] A integral do lado esquerdo é: \[ -\frac{1}{4y^4} + C_1 \] E a integral do lado direito é: \[ \frac{x^3}{3} + C_2 \] 3. Igualando as integrais: \[ -\frac{1}{4y^4} = \frac{x^3}{3} + C \] onde \( C = C_2 - C_1 \). 4. Aplicando a condição inicial: Usamos a condição \( y(0) = 0 \): \[ -\frac{1}{4(0)^4} = \frac{0^3}{3} + C \] Isso resulta em uma indeterminação, pois \( y(0) = 0 \) leva a uma divisão por zero. 5. Análise da solução: A condição inicial \( y(0) = 0 \) sugere que a solução trivial \( y(x) = 0 \) para todo \( x \) é uma solução válida, pois satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Portanto, a solução do problema de Cauchy é: \[ y(x) = 0 \quad \text{para todo } x. \]