Para aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt na base \( S = \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \) de \( \mathbb{R}^4 \), siga os passos abaixo: 1. Defina os vetores iniciais: - \( v_1 = (1, 0, 1, 0) \) - \( v_2 = (1, 1, 0, 0) \) - \( v_3 = (0, 0, 1, 1) \) - \( v_4 = (1, 0, 0, 0) \) 2. Calcule \( u_1 \): - \( u_1 = v_1 = (1, 0, 1, 0) \) 3. Calcule \( u_2 \): - \( u_2 = v_2 - \text{proj}_{u_1}(v_2) \) - A projeção é dada por: \[ \text{proj}_{u_1}(v_2) = \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 \] - Calcule \( v_2 \cdot u_1 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 \) - Calcule \( u_1 \cdot u_1 = 1^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = 2 \) - Portanto, \( \text{proj}_{u_1}(v_2) = \frac{1}{2} (1, 0, 1, 0) = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0\right) \) - Assim, \( u_2 = (1, 1, 0, 0) - \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2}, 0\right) \) 4. Calcule \( u_3 \): - \( u_3 = v_3 - \text{proj}_{u_1}(v_3) - \text{proj}_{u_2}(v_3) \) - Calcule \( \text{proj}_{u_1}(v_3) \) e \( \text{proj}_{u_2}(v_3) \) da mesma forma que antes. - Após os cálculos, você encontrará \( u_3 \). 5. Calcule \( u_4 \): - \( u_4 = v_4 - \text{proj}_{u_1}(v_4) - \text{proj}_{u_2}(v_4) - \text{proj}_{u_3}(v_4) \) - Novamente, calcule as projeções e encontre \( u_4 \). 6. Normalize os vetores: - Para obter a base ortonormal, normalize cada vetor \( u_i \) dividindo por sua norma: \[ e_i = \frac{u_i}{\|u_i\|} \] Ao final, você terá uma base ortonormal \( \{e_1, e_2, e_3, e_4\} \) em \( \mathbb{R}^4 \). Se precisar de mais detalhes em algum passo específico, é só avisar!