1756905229516Lista_de_exercício_3___Matemática_3 (3)

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Lista 3 - Matemática 3
Professor: Mateus Figueira
Exerćıcio 1. Use o processo de Gram-Schmidt para transforma a base {u1, u2} numa base ortonormal e
esboce os vetores de ambas as bases no plano cartesiano.
a) u1 = (1,−3), u2 = (2, 2).
b) u1 = (1, 0) e u2 = (3,−5)
Exerćıcio 2. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt na base S = {v1, v2, v3, v4} de R4
dada por
v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1, 1, 0, 0), v3 = (0, 0, 1, 1), v4 = (1, 0, 0, 0),
para encontrar uma base ortonormal.
Exerćıcio 3. Encontre os autovalores, os respectivos auto-espaços, diga qual a dimensão desses auto-espaços
das seguintes matrizes.
A =
[
1 0
−0 −1
]
, B =
 −1 1 0
1 −1 0
0 0 4
 , C =
[
0 −1
1 0
]
Exerćıcio 4. Considere T : R3 → R3 a transformação linear dada por T (x, y, z) = (2x+ 3y, y, 2z).
a) Obtenha todos os autovalores de T .
b) Obtenha todos os autovetores de autoespaços associados aos autovalores obtidos no item anterior.
c) A transformação linear T é invert́ıvel? Justifique.
Exerćıcio 5. Seja T : R3 → R3 o operador linear definido por
T (x1, x2, x3) = (3x1 + x2,−2x1 − 4x2 + 3x3, 5x1 + 4x2 − 2x3).
Determine se T é injetor e, se for, encontre T−1.
Exerćıcio 6. Considere a transformação linear T : R2 → R3 dada por T (x, y) = (x+ y, x+ 2y, 2x+ 3y).
a) A transformação T é injetora? Justifique.
b) A transformação T é sobrejetora? Justifique.
c) O vetor (1, 1, 1) está na imagem de T? Justifique.
Exerćıcio 7. Seja N ⊂ M2×2 o subconjunto das matrizes de tamanho 2× 2 formado por todas as matrizes
da forma [
x y
2x+ y x− y
]
, x, y ∈ R.
Verifique que o subconjunto N é um subespaço vetorial de M2×2, obtenha uma base para N e determine
a sua dimensão.
Exerćıcio 8. Seja T : V → W uma transformação linear. Mostre que o núcleo e a imagem de T são
subespaços vetoriais de V e W , respectivamente.
Exerćıcio 9. Seja T : V → W uma transformação linear injetora. Mostre que T−1 : Im(T ) → V é uma
transformação linear
Exerćıcio 10. Encontre a composição (T1 ◦ T2)(x, y) em cada caso:
1. T1(x1, x2) = (2x1, 3x2), T2(x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2)
2. T1(x1, x2) = (x1 − 3x2, 0), T2(x1, x2) = (4x1 − 5x2, 3x1 − 6x2)
1
3. T1(x1, x2) = (2x1,−3x2, x1 + x2), T2(x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 + x3)
Exerćıcio 11. Em cada parte, T : R3 → R3 é a transformação linear dada pela multiplicação pela matriz
A. Determine se T tem inversa. Se tiver, a encontre.
1. A =
 1 5 2
1 2 1
−1 1 0

2. A =
 1 4 −1
1 2 1
−1 1 0

3. A =
 1 0 1
0 1 1
1 1 0

Exerćıcio 12. Sejam T1 : R2 → R2 e T2 : R2 → R2 os operadores dados por
T1(x, y) = (x+ y, x− y)
e
T2(x, y) = (2x+ y, x− 2y).
1. Mostre que T1 e T2 são injetoras.
2. encontre fórmulas para
T−1
1 (x, y), T−1
2 (x, y), (T2 ◦ T1)
−1(x, y).
3. Verifique que (T2 ◦ T1)
−1 = T−1
1 ◦ T−1
2
Exerćıcio 13. Seja T : P2 → P3 a transformação linear definida por T (p(x)) = xp(x). Encontre a matriz
de T em relação às bases
B = {1, x, x2}
de P2 e
B′ = {1, x, x2, x3}
de P3.
Exerćıcio 14. Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por
T (x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2).
Determine [T ]B em que B = {u1 = (1, 1), u2 = (−1, 0)} é uma base de R2.
Exerćıcio 15. Seja T : P2 → P1 a transformação definida por
T (a0 + a1x+ a2x
2) = (a0 + a1)− (2a1 + 3a2)x.
Encontre a matriz de T em relação às bases B = {1, x, x2} de P2 e B′ = {1, x} de P1.
Exerćıcio 16. Seja
A =
 3 −2 1 0
1 6 2 1
−3 0 7 1

a matriz de T : R4 → R3 em relação às bases B = {v1, v2, v3, v4} e B′ = {w1, w2, w3}, em que
v1 =

0
1
1
1
 , v2 =

2
1
−1
−1
 , v3 =

1
4
−1
2
 , v4 =

6
9
4
2

e
w1 =
 0
8
8
 , w2 =
 −7
8
1
 , w3 =
 −6
9
1
 .
2
a) Encontre (T (v1))B′ ,(T (v2))B′ ,(T (v3))B′ e (T (v4))B′ .
b) Encontre T (v1), T (v2), T (v3) e T (v4).
c) Encontre uma fórmula para T (x1, x2, x3, x4).
Exerćıcio 17. Sejam T1 : P1 → P2 a transformação linear
T1(p(x)) = xp(x)
e T2 : P2 → P2 a transformação linear dada por
T2(p(x)) = p(2x+ 1).
Dadas as bases B = {1, x} de P1 e B′ = {1, x, x2} de P2 encontre as matrizes
[T2 ◦ T1]B′,B , [T1]B′,B , [T2]B′ .
Exerćıcio 18. (a) Resolva o seguinte sistema
y′1 = 4y1
y′2 = −2y1 + y2
y′3 = −2y1 + y3
(b) Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y′1(0) = −1, y2(0) = 1 e y′3(0) = 0.
Exerćıcio 19. (a) Resolva o seguinte sistema
y′1 = y1 + 4y2
y′2 = 2y1 + 3y2
(b) Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y′1(0) = 1, y2(0) = 2.
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