Para calcular a área sob o gráfico da função \( f(x) = -5x^2 + 12x \) entre \( x = 0 \) e \( x = 2 \), precisamos primeiro encontrar a integral definida dessa função nesse intervalo. 1. Encontrar a integral da função: \[ \int f(x) \, dx = \int (-5x^2 + 12x) \, dx = -\frac{5}{3}x^3 + 6x^2 + C \] 2. Calcular a integral definida de 0 a 2: \[ \int_0^2 (-5x^2 + 12x) \, dx = \left[-\frac{5}{3}(2)^3 + 6(2)^2\right] - \left[-\frac{5}{3}(0)^3 + 6(0)^2\right] \] Calculando os valores: \[ = \left[-\frac{5}{3}(8) + 6(4)\right] - [0] \] \[ = \left[-\frac{40}{3} + 24\right] \] \[ = \left[-\frac{40}{3} + \frac{72}{3}\right] \] \[ = \frac{32}{3} \] Portanto, a área sob o gráfico da função entre \( x = 0 \) e \( x = 2 \) é \( \frac{32}{3} \) polegadas. A alternativa correta é: d) \( \frac{32}{3} \) polegadas.