Para encontrar a derivada direcional da função \( g(x,y,z) = xy + yz + zx \) no ponto \( P_0 = (1, -1, 2) \) na direção do vetor \( A = 3i + 6j - 2k \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o gradiente da função \( g \): \[ \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}, \frac{\partial g}{\partial z} \right) \] - \( \frac{\partial g}{\partial x} = y + z \) - \( \frac{\partial g}{\partial y} = x + z \) - \( \frac{\partial g}{\partial z} = x + y \) Portanto, o gradiente é: \[ \nabla g = (y + z, x + z, x + y) \] 2. Avaliar o gradiente no ponto \( P_0 = (1, -1, 2) \): \[ \nabla g(1, -1, 2) = (-1 + 2, 1 + 2, 1 - 1) = (1, 3, 0) \] 3. Normalizar o vetor direção \( A = (3, 6, -2) \): Primeiro, calculamos a norma de \( A \): \[ \|A\| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7 \] O vetor unitário na direção de \( A \) é: \[ \hat{A} = \left( \frac{3}{7}, \frac{6}{7}, \frac{-2}{7} \right) \] 4. Calcular a derivada direcional: A derivada direcional é dada por: \[ D_{\hat{A}} g = \nabla g \cdot \hat{A} \] Calculando o produto escalar: \[ D_{\hat{A}} g = (1, 3, 0) \cdot \left( \frac{3}{7}, \frac{6}{7}, \frac{-2}{7} \right) = 1 \cdot \frac{3}{7} + 3 \cdot \frac{6}{7} + 0 \cdot \frac{-2}{7} = \frac{3}{7} + \frac{18}{7} = \frac{21}{7} = 3 \] Portanto, a derivada direcional no ponto \( P_0 \) na direção \( A \) é 3. A alternativa correta é: Opção B 3.