Qual é o valor de vec G(0) para que a função vec G(t) = \langle(e ^ t)/(t + 1), (sqrt(t + 1) - 1)/t, (2sin t)/t\rangle seja continua em t = 0 ?

Para determinar o valor de \( \vec{G}(0) \) que torna a função contínua em \( t = 0 \), precisamos analisar cada componente da função \( \vec{G}(t) = \langle \frac{e^t}{t + 1}, \frac{\sqrt{t + 1} - 1}{t}, \frac{2\sin t}{t} \rangle \) quando \( t \) se aproxima de 0. 1. Primeira componente: \( \frac{e^t}{t + 1} \) - Quando \( t \to 0 \), \( \frac{e^0}{0 + 1} = 1 \). 2. Segunda componente: \( \frac{\sqrt{t + 1} - 1}{t} \) - Usando a regra de L'Hôpital ou a expansão de Taylor, temos que \( \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t + 1} - 1}{t} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} \). 3. Terceira componente: \( \frac{2\sin t}{t} \) - Sabemos que \( \lim_{t \to 0} \frac{2\sin t}{t} = 2 \). Agora, juntando tudo, temos que: - Para \( t = 0 \), a primeira componente deve ser \( 1 \). - A segunda componente deve ser \( \frac{1}{2} \). - A terceira componente deve ser \( 2 \). Portanto, o valor de \( \vec{G}(0) \) que torna a função contínua em \( t = 0 \) é \( \langle 1, \frac{1}{2}, 2 \rangle \).