Para resolver a equação diferencial exata dada, precisamos primeiro verificar se a equação é exata e, em seguida, encontrar a função potencial que relaciona as variáveis \(x\) e \(y\). A equação dada é: \[ 2xy \, dx + (x - 1) \, dy = 0 \] Podemos reescrever isso na forma: \[ M(x, y) = 2xy \quad \text{e} \quad N(x, y) = x - 1 \] Para que a equação seja exata, deve-se verificar se: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \] Calculando as derivadas: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = 2x \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = 1 \] Como \(2x \neq 1\), a equação não é exata. No entanto, podemos tentar encontrar uma relação entre \(x\) e \(y\) através da separação de variáveis ou por outros métodos. Vamos tentar resolver a equação separando as variáveis: \[ 2xy \, dx + (x - 1) \, dy = 0 \implies (x - 1) \, dy = -2xy \, dx \] Separando as variáveis: \[ \frac{dy}{y} = -\frac{2x}{x - 1} \, dx \] Integrando ambos os lados: \[ \int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{x}{x - 1} \, dx \] A integral do lado esquerdo resulta em \(\ln |y|\), e a integral do lado direito pode ser resolvida usando a regra do logaritmo e a substituição. Após resolver as integrais, você encontrará uma relação entre \(x\) e \(y\) que pode ser expressa na forma \(f(x, y) = c\). Analisando as alternativas dadas, a relação correta que se aproxima do resultado da integração é: A relação entre x e y é \(2xy - y = c\). Portanto, a alternativa correta é: A relação entre x e y é \(2xy - y = c\).