Seja f : X → Y uma aplicação contínua entre espaços topológicos. Se f é injetiva e X é compacto, então a imagem f(X) é compacta.
Prove que f(X) é compacto.

Question

Seja f : X → Y uma aplicação contínua entre espaços topológicos. Se f é injetiva e X é compacto, então a imagem f(X) é compacta.
Prove que f(X) é c...

Ed · Answer

Para provar que a imagem $ f(X) $ é compacta, vamos usar a definição de compactude e a continuidade da função $ f $.

1. **Definição de Compactude**: Um espaço topológico é compacto se toda cobertura aberta tem uma subcobertura finita.

2. **Cobertura de $ f(X) $**: Seja $ \{ V_i \}_{i \in I} $ uma cobertura aberta de $ f(X) $ em $ Y $. Isso significa que $ f(X) \subseteq \bigcup_{i \in I} V_i $.

3. **Pré-imagem**: Como $ f $ é contínua, a pré-imagem $ f^{-1}(V_i) $ é aberta em $ X $ para cada $ i \in I $. Assim, $ \{ f^{-1}(V_i) \}_{i \in I} $ é uma cobertura aberta de $ X $.

4. **Compactude de $ X $**: Como $ X $ é compacto, existe uma subcobertura finita $ \{ f^{-1}(V_{i_1}), f^{-1}(V_{i_2}), \ldots, f^{-1}(V_{i_n}) \} $ que cobre $ X $.

5. **Imagem da Subcobertura**: Portanto, temos que:
   $$
   X \subseteq f^{-1}(V_{i_1}) \cup f^{-1}(V_{i_2}) \cup \ldots \cup f^{-1}(V_{i_n}).
   $$
   Aplicando $ f $ em ambos os lados, obtemos:
   $$
   f(X) \subseteq f(f^{-1}(V_{i_1})) \cup f(f^{-1}(V_{i_2})) \cup \ldots \cup f(f^{-1}(V_{i_n})).
   $$

6. **Injetividade**: Como $ f $ é injetiva, temos que $ f(f^{-1}(V_i)) = V_i $ para cada $ i $. Assim, podemos escrever:
   $$
   f(X) \subseteq V_{i_1} \cup V_{i_2} \cup \ldots \cup V_{i_n}.
   $$

7. **Conclusão**: Portanto, $ \{ V_{i_1}, V_{i_2}, \ldots, V_{i_n} \} $ é uma subcobertura finita de $ f(X) $, o que implica que $ f(X) $ é compacto.

Assim, provamos que a imagem $ f(X) $ é compacta.

Análise Matemática

Solução Curso de Análise volume 2 capitulo 1

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Solução Curso de Análise volume 2 capitulo 1

Se E ⊂ Rn é um subespaço de dimensão m, sua dimensão complementar é n−m.
Existem n−m funcionais lineares f1, f2, . . . , fn−m : Rn → R tais que: E = {x ∈ Rn | f1(x) = f2(x) = · · · = fn−m(x) = 0}.

Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.
Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.
Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.
Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.
Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.
Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

Se A é ortogonal então det(A) = ±1.

Dados os números reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = a, ⟨e1, e2⟩ = ⟨e2, e1⟩ = b e ⟨e2, e2⟩ = c, é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2.

Existe em R3 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = 2, ⟨e2, e2⟩ = 3, ⟨e3, e3⟩ = 4, ⟨e1, e2⟩ = 0 e ⟨e2, e3⟩ = ⟨e1, e3⟩ = 1.

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Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

Se A é ortogonal então det(A) = ±1.

Dados os números reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = a, ⟨e1, e2⟩ = ⟨e2, e1⟩ = b e ⟨e2, e2⟩ = c, é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2.

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Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.