Para calcular a integral de \( \sin(x) \) no intervalo de 1 a 2 usando o método de Romberg até \( n = 2 \), você deve seguir os passos do método, que envolve a aplicação da regra do trapézio e a extrapolação dos resultados. 1. Cálculo da integral usando a regra do trapézio: - Para \( n = 1 \): \[ T_1 = \frac{b - a}{2} \left( f(a) + f(b) \right) = \frac{2 - 1}{2} \left( \sin(1) + \sin(2) \right) \] - Para \( n = 2 \): \[ T_2 = \frac{b - a}{4} \left( f(a) + 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right) = \frac{2 - 1}{4} \left( \sin(1) + 2\sin\left(\frac{1+2}{2}\right) + \sin(2) \right) \] 2. Extrapolação: - Usando os valores de \( T_1 \) e \( T_2 \) para calcular \( R_{11} \) e \( R_{21} \). 3. Resultado final: - Após realizar os cálculos, você deve encontrar o valor da integral. Com os cálculos feitos, o valor aproximado da integral de \( \sin(x) \) de 1 a 2 é aproximadamente \( 0,95651 \). Portanto, a alternativa correta é 0,95651.