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No cálculo de integrais definidas de funções, após fazer a integral indefinida da função, é necessário substituir os limites do intervalo na fórmula da primitiva e realizar um cálculo. E isso significa calcular a área entre a curva da função e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integração de funções polinomiais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral definida no intervalo [1,2] vale 4.
Porque:
II. A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida pelo eixo x, pelas retas y = a, y = b e pela curva dessa função, e esse valor equivale a F(b) – F(a).
1. Incorreta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
2. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
3. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
4. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
5. As asserções I e II são proposições falsas.
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Vamos analisar as asserções uma a uma: I. A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral definida no intervalo [1,2] vale 4. - A primitiva correta de f(x) = 2x + 1 é F(x) = x² + x + C, e não F(x) = x(x + 1) + C. Portanto, a asserção I é falsa. Para calcular a integral definida de 1 a 2, teríamos: F(2) = 2² + 2 = 6 F(1) = 1² + 1 = 2 Portanto, F(2) - F(1) = 6 - 2 = 4, mas a primitiva apresentada está incorreta. II. A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida pelo eixo x, pelas retas y = a, y = b e pela curva dessa função, e esse valor equivale a F(b) – F(a). - Esta asserção é verdadeira. A integral definida realmente representa a área sob a curva entre os limites a e b, e o cálculo é feito por F(b) - F(a). Agora, analisando as alternativas: 1. Incorreta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. (FALSO, pois I é falsa) 2. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. (FALSO, pois II é verdadeira) 3. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. (FALSO, pois I é falsa) 4. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. (VERDADEIRO) 5. As asserções I e II são proposições falsas. (FALSO, pois II é verdadeira) Portanto, a alternativa correta é: 4. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

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O Teorema Fundamental do Cálculo uniu o Cálculo Integral ao Diferencial, possibilitando o cálculo de integrais definidas a partir da seguinte igualdade:
Utilizando os seus conhecimentos acerca das integrais definidas e o Teorema Fundamental do Cálculo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Diferente das integrais indefinidas, as definidas resultam em uma resposta apenas, e não uma família de soluções.
II. ( ) Esse teorema alia as antiderivadas às integrais.
III. ( ) Para utilizá-lo, não é necessário definir os limites de integração.
IV. ( )
1. V, V, F, V.
2. F, F, V, V.
3. V, V, V, F.
4. V, F, V, V.
5. V, F, F, F.

Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos e sociais e, por esse motivo, como sabemos que a derivada e a integral possuem significados práticos para esses modelos, o estudo do Cálculo se faz indispensável para a análise quantitativa e qualitativa desses fenômenos.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, qualquer que seja o intervalo de integração.
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual a 4.
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 4e^(2x).
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 + e^x + C.
1. F, F, V, V.
2. V, V, F, V.
3. V, V, F, F.
4. V, F, F, F.
5. V, V, V, F.

Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando comparadas, já que a potência e o logaritmo são operações inversas, de forma que, quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o resultado por meio de uma multiplicação, enquanto, quando aplicamos o logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é correto afirmar que:
1. No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa.
2. Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0.
3. Ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais.
4. No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é positiva.
5. Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa.

O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm fundamental importância para o Cálculo, pois essas funções descrevem uma série de fenômenos observados nas ciências naturais.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada como limite e seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir:
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função.
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites.
III. A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x).
IV. Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta y = x.
1. II e IV.
2. II e III.
3. II, III e IV.
4. I, e IV.
5. Incorreta: I, II e III.

O Teorema Fundamental do Cálculo permite o cálculo de integrais definidas dado um intervalo de integração. Não somente por isso, esse Teorema é muito importante por um outro fator.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que Teorema Fundamental do Cálculo é relevante para o Cálculo, também porque:
1. ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo diferencial.
2. ele refuta a integral de Riemann.
3. ele torna dispensável a utilização das derivadas.
4. ele permite o cálculo de integrais definidas.
5. ele é o único teorema que envolve integrais.

A integral definida de funções tem importantes aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados matematicamente, de forma que o conhecimento das regras de integração definida em um intervalo [a,b] é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados.
Considerando isso e seus conhecimentos sobre regras de integração definida, analise as afirmativas a seguir.
I. A integral de uma constante no intervalo [a,b] é igual a c(a-b).
II. A integral definida no intervalo [a,b] do produto de duas funções é igual ao produto das integrais dessas funções nesse intervalo.
III. A integral definida no intervalo [a,b] da soma de duas funções é igual à soma das integrais dessas funções nesse intervalo.
IV. Se f(x) > 0 em um intervalo [a,b], então sua integral nesse intervalo também é maior que zero.
1. III e IV.
2. I e IV.
3. II e III.
4. Incorreta: I e IV.
5. II e III.

As integrais de funções têm inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral definida de uma função no intervalo [a,b] pode ser calculada dividindo a figura formada pela curva e o eixo x no maior número possível de retângulos de mesmo comprimento e somando as áreas dos mesmos.
II. ( ) A integral de e(x) = x² definida no intervalo [0,9] é igual a 243.
III. ( ) A integral definida de f(x) no intervalo [a,b] é dada por A1 – A2, onde A1 é a área entre a curva e o eixo x nas regiões onde f(x) > 0 e A2 é área das regiões onde f(x) < 0.
IV. ( ) A integral de g(x) = |x| no intervalo [-10,10] é igual a 0, pois essa é uma função par.
1. F, F, V, F.
2. V, V, V, F.
3. F, V, F, V.
4. V, V, F, F.
5. V, F, F, V.

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