Para encontrar os autovalores, multiplicidades algébricas e geométricas, e os autovetores da matriz \( A = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar os autovalores: Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica \( \det(A - \lambda I) = 0 \). \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -1 - \lambda & 6 \\ 0 & 5 - \lambda \end{pmatrix} \] O determinante é: \[ \det(A - \lambda I) = (-1 - \lambda)(5 - \lambda) - 0 = 0 \] Resolvendo: \[ (-1 - \lambda)(5 - \lambda) = 0 \] Os autovalores são \( \lambda_1 = -1 \) e \( \lambda_2 = 5 \). 2. Multiplicidades algébricas: Ambos os autovalores têm multiplicidade algébrica 1, pois são raízes simples da equação característica. 3. Encontrar os autovetores: Para \( \lambda_1 = -1 \): \[ A - (-1)I = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \] O sistema \( (A + I)v = 0 \) resulta em \( 6y = 0 \), então \( y = 0 \). O autovetor correspondente é \( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \). Para \( \lambda_2 = 5 \): \[ A - 5I = \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] O sistema \( (A - 5I)v = 0 \) resulta em \( -6x + 6y = 0 \), ou seja, \( x = y \). O autovetor correspondente é \( v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \). 4. Multiplicidades geométricas: A multiplicidade geométrica de cada autovalor é 1, pois temos um autovetor para cada um. Resumindo: - \( \lambda_1 = -1 \): multiplicidade algébrica 1, geométrica 1; autovetor \( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \). - \( \lambda_2 = 5 \): multiplicidade algébrica 1, geométrica 1; autovetor \( v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \). Portanto, a alternativa correta é: - \( \lambda_1 = 5: \) multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1; autovetor \( v_1 = [1, 1] \). - \( \lambda_2 = -1: \) multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1; autovetor \( v_1 = [1, 0] \).