Para que os vetores resultantes das operações \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) e \( \mathbf{c} - \mathbf{a} \) sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. Primeiro, vamos calcular os vetores: 1. Cálculo de \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \): \[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (2, 1, m) + (m+2, -5, 2) = (2 + (m + 2), 1 - 5, m + 2) = (m + 4, -4, m + 2) \] 2. Cálculo de \( \mathbf{c} - \mathbf{a} \): \[ \mathbf{c} - \mathbf{a} = (2m, 8, m) - (2, 1, m) = (2m - 2, 8 - 1, m - m) = (2m - 2, 7, 0) \] Agora, precisamos calcular o produto escalar entre \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) e \( \mathbf{c} - \mathbf{a} \): \[ (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} - \mathbf{a}) = (m + 4)(2m - 2) + (-4)(7) + (m + 2)(0) \] Simplificando: \[ = (m + 4)(2m - 2) - 28 \] Expandindo: \[ = 2m^2 - 2m + 8m - 8 - 28 = 2m^2 + 6m - 36 \] Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser igual a zero: \[ 2m^2 + 6m - 36 = 0 \] Dividindo toda a equação por 2: \[ m^2 + 3m - 18 = 0 \] Agora, podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 \pm 9}{2} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \( m = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( m = \frac{-12}{2} = -6 \) Portanto, os valores de \( m \) para os quais os vetores \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) e \( \mathbf{c} - \mathbf{a} \) são ortogonais são \( m = 3 \) e \( m = -6 \). Se você tiver as alternativas, posso ajudar a identificar a correta!