Determine o volume do sólido que fica abaixo da paraboloide z e acima do disco + = 4. 54π 28π 38π 18π 14π

Para determinar o volume do sólido que fica abaixo da paraboloide \( z = 4 - x^2 - y^2 \) e acima do disco \( x^2 + y^2 \leq 4 \), podemos usar coordenadas polares. 1. Definindo as coordenadas polares: - \( x = r \cos \theta \) - \( y = r \sin \theta \) - O disco \( x^2 + y^2 \leq 4 \) se torna \( r^2 \leq 4 \) ou \( 0 \leq r \leq 2 \). 2. Expressando a função em coordenadas polares: - A paraboloide se torna \( z = 4 - r^2 \). 3. Calculando o volume: O volume \( V \) é dado pela integral dupla: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr \, d\theta \] 4. Resolvendo a integral: - Primeiro, resolvemos a integral em \( r \): \[ \int_0^2 (4r - r^3) \, dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \left[ 2(2^2) - \frac{(2^4)}{4} \right] = 8 - 4 = 4 \] - Agora, integramos em \( \theta \): \[ V = \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4(2\pi) = 8\pi \] Portanto, o volume do sólido é \( 8\pi \). No entanto, como essa opção não está entre as fornecidas, é possível que tenha ocorrido um erro na interpretação ou nos limites. Se precisar de mais ajuda, estou à disposição!