Qual serie e mais adequada para analise pelo Criterio da Razao? a) 1/n b) n!/n^n c) 1/n^2 d) (1)^n/n

Para determinar qual série é mais adequada para análise pelo Critério da Razão, precisamos aplicar o critério a cada uma das opções. O Critério da Razão afirma que, para uma série \(\sum a_n\), se \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L\): - Se \(L < 1\), a série converge. - Se \(L > 1\) ou \(L = \infty\), a série diverge. - Se \(L = 1\), o teste é inconclusivo. Vamos analisar cada alternativa: a) \(a_n = \frac{1}{n}\) \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/(n+1)}{1/n} = \frac{n}{n+1} \to 1 \text{ (inconclusivo)} \] b) \(a_n = \frac{n!}{n^n}\) \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{n!/n^n} = \frac{(n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} \to \frac{1}{e} < 1 \text{ (converge)} \] c) \(a_n = \frac{1}{n^2}\) \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/(n+1)^2}{1/n^2} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 \to 1 \text{ (inconclusivo)} \] d) \(a_n = \frac{1^n}{n} = \frac{1}{n}\) \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/(n+1)}{1/n} = \frac{n}{n+1} \to 1 \text{ (inconclusivo)} \] A única série que apresenta um resultado claro e conclusivo pelo Critério da Razão é a opção b) \(n!/n^n\), que converge. Portanto, a resposta correta é: b) n!/n^n.