Para resolver essa questão, podemos usar a relação entre os ângulos e as distâncias no triângulo formado pelo balão, o ponto de decolagem e o telémetro. 1. Identificação das variáveis: - \( x = 500 \) pés (distância horizontal do telémetro ao ponto de decolagem). - \( h \) = altura do balão (que estamos tentando encontrar a taxa de variação). - \( \theta \) = ângulo de elevação (que é \( \frac{\pi}{4} \) radianos no momento considerado). 2. Relação trigonométrica: Usamos a tangente do ângulo: \[ \tan(\theta) = \frac{h}{x} \] Portanto: \[ h = x \cdot \tan(\theta) \] 3. Derivando em relação ao tempo: Derivamos ambos os lados em relação ao tempo \( t \): \[ \frac{dh}{dt} = x \cdot \sec^2(\theta) \cdot \frac{d\theta}{dt} \] 4. Substituindo os valores: - \( x = 500 \) pés - \( \theta = \frac{\pi}{4} \) (neste ângulo, \( \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2 \)) - \( \frac{d\theta}{dt} = 0,14 \) rad/min Agora, substituímos: \[ \frac{dh}{dt} = 500 \cdot 2 \cdot 0,14 \] \[ \frac{dh}{dt} = 500 \cdot 0,28 = 140 \text{ pés/min} \] Portanto, a velocidade com que o balão sobe nesse momento é de 140 pés/min.