Lista de Exercicios - Derivadas - 1

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<p>1</p><p>ENGENHARIAS</p><p>CÁLCULO I</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>A) Encontrar a derivada das funções abaixo:</p><p>1) f(r) = 2r</p><p>2) f(x) = 3x2 + 6x + 10</p><p>3) f(w) = aw2 + b</p><p>4) f(x) = 3x</p><p>2</p><p>1</p><p>14 </p><p>5) f(x) = (2x + 1)(3x2 + 6)</p><p>6) f(x) = (7x – 1)(x + 4)</p><p>7) f(x) = (3x5 – 1)(2 – x4)</p><p>8) f(x) = )3x5()3x5(</p><p>3</p><p>2 1  </p><p>9) f(x) = (x + 1)(x – 1)</p><p>10) f(x) = (x2 – 1)(3x – 1)(5x3 + 2x)</p><p>11) f(x) = 7(ax2 + bx + c)</p><p>12) f(u) = (4u2 – a)(a – 2u)</p><p>13) f(x) =</p><p>1x3</p><p>4x2</p><p></p><p></p><p>14) f(t) =</p><p>1t</p><p>1t</p><p></p><p></p><p>15) f(t) =</p><p>1t</p><p>1t5t3 2</p><p></p><p></p><p>16) f(t) =</p><p>2t</p><p>t2 2</p><p></p><p></p><p>17) f(x) =</p><p>2x5</p><p>x4</p><p></p><p></p><p>18) f(x) =</p><p>2x2</p><p>7x5</p><p></p><p></p><p>19) f(t) =</p><p>bt</p><p>)at( 2</p><p></p><p></p><p>20) f(x) =</p><p>54 x</p><p>5</p><p>x</p><p>3</p><p></p><p>21) f(x) =</p><p>6</p><p>4</p><p>x</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p>22) y = – x2 + 3</p><p>23) s = 5t3 – 3t5</p><p>24) y = xx</p><p>3</p><p>4 3 </p><p>25) y = x2 + x + 8</p><p>26) w = 3z7 – 7z3 + 21z2</p><p>27) y =</p><p>4</p><p>x</p><p>2</p><p>x</p><p>3</p><p>x 23</p><p></p><p>28) w =</p><p>z</p><p>1</p><p>z3 2 </p><p>29) s =</p><p>2</p><p>1</p><p>t</p><p>4</p><p>t2  </p><p>30) y = 6x2 – 10x – 5x – 2</p><p>31) r =</p><p>s2</p><p>5</p><p>s3</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p>32) y =</p><p>2x3</p><p>5x2</p><p></p><p></p><p>2</p><p>33) y =</p><p>1t</p><p>1t2</p><p></p><p></p><p>34) g(x) =</p><p>5,0x</p><p>4x2</p><p></p><p></p><p>35) u = (1 – t)(1 + t2) –1</p><p>36) y =</p><p>x</p><p>x4x1 </p><p>37) y = xx</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>x 2</p><p>4</p><p></p><p>38) y =</p><p>x</p><p>7x3 </p><p>39) f(x) =</p><p>1x3</p><p>x2</p><p></p><p>40) f(x) = xx</p><p>3</p><p></p><p>41) f(x) =</p><p>33 xx6 </p><p>42) f(x) =</p><p>1x</p><p>x</p><p>2 </p><p>43) f(x) = x)4x2(x 38 </p><p>44) f(x) =</p><p>1x</p><p>1x2</p><p></p><p></p><p>45) f(x) =</p><p>3x5</p><p>3x3 2</p><p></p><p></p><p>46) y =</p><p>1x</p><p>x</p><p></p><p>47) f(x) =</p><p>3x</p><p>1x</p><p>2 </p><p></p><p>48) y =</p><p>1x</p><p>x</p><p>x5</p><p></p><p></p><p>49) f(x) =</p><p>1x3</p><p>4x2</p><p></p><p></p><p>50) f(t) =</p><p>3</p><p>2 3t2</p><p>1t7</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>51) y =</p><p>x</p><p>xx</p><p>3</p><p></p><p>52) f(x) = 3 22 )2x6x3( </p><p>53) y =</p><p>3x</p><p>xx</p><p>2</p><p>4</p><p></p><p></p><p>B) Encontre a equação da reta tangente à curva xy  , que seja paralela à reta 01y4x8  .</p><p>C) O raio r de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de 5 m/s. Com que taxa estará</p><p>variando o volume da esfera no instante em que r = 2 m?</p><p>D) A altura s (em pés) no instante t (em segundos) de um dólar de prata jogado do topo do monumento de</p><p>Washington é dada por 555t16s 2  .</p><p>1) Determine a velocidade média no intervalo [2, 3].</p><p>2) Determine as velocidades instantâneas quando t = 2 e t = 3.</p><p>3) Quanto tempo levará para a moeda atingir o chão?</p><p>4) Determine a velocidade da moeda quando ela atingir o chão.</p><p>E) Usando a definição, encontre f’(x) sabendo que</p><p>3x</p><p>2x</p><p>)x(f</p><p></p><p></p><p> .</p><p>F) A que taxa a área muda em relação ao diâmetro, quando o diâmetro é igual a 10 m?</p><p>3</p><p>G) A figura abaixo mostra a queda livre de uma bola pesada partindo do repouso no instante t = 0 s.</p><p>1) Quantos metros a bola cai nos primeiros 2 s?</p><p>2) Quais são sua velocidade, o módulo de sua velocidade e sua aceleração nesse instante?</p><p>H) Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de</p><p>160 pés/s (aproximadamente 109 mi/h). A pedra atinge uma altura de 216160 tts  pés após t segundos.</p><p>1) Qual a altura máxima atingida pela pedra?</p><p>2) Quais são a velocidade e o módulo da velocidade da pedra quando ela está a 256 pés do solo na</p><p>subida? E na descida?</p><p>3) Qual é a aceleração da pedra em qualquer instante t durante sua trajetória (depois da explosão)?</p><p>4) Quando a pedra atingirá o solo novamente?</p><p>I) Encontre uma equação da reta tangente à parábola 9x8xy 2  no ponto (3, –6) e esboce o gráfico</p><p>da função.</p><p>4</p><p>J) Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar:</p><p>1) A taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5m a</p><p>3m;</p><p>2) A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4m.</p><p>K) Sabendo que 8x12x3y 2  , determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta</p><p>equação no ponto P(3, –1) e o ponto do gráfico em que a tangente é horizontal.</p><p>L) Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de</p><p>pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia de</p><p>epidemia) é, aproximadamente, dado por  </p><p>3</p><p>t</p><p>t64tf</p><p>3</p><p> .</p><p>1) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?</p><p>2) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?</p><p>3) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5° dia?</p><p>M) Usando a definição, encontre a derivada da função 3x)x(f  .</p><p>N) Analistas de produção verificaram que, em uma montadora x, o número de peças produzidas nas</p><p>primeiras t horas diárias de trabalho é dado por</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>8t4para),1t(200</p><p>4t0para),tt(50 2</p><p>.</p><p>1) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas?</p><p>2) Quantas peças são produzidas na 8ª hora de trabalho?</p><p>O) A curva 2x2x)x(f 24  tem alguma tangente horizontal? Se tem, onde está?</p><p>P) Um reservatório de água está sendo esvaziado para a limpeza. A quantidade de água no reservatório,</p><p>em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por 2)t80(50V  . Determinar:</p><p>1) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de</p><p>escoamento.</p><p>2) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento.</p><p>3) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento.</p><p>Q) Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação 2t2l  , onde a variável t representa o</p><p>tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo t = 2.</p><p>R) O raio de uma circunferência cresce á razão de 21 cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento da</p><p>circunferência em relação ao tempo?</p><p>S) Um ponto P (x, y) se move ao longo do gráfico da função</p><p>x</p><p>1</p><p>y  . Se a abscissa varia à razão de 4</p><p>unidades por segundo, qual a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é</p><p>10</p><p>1</p><p>x  ?</p><p>T) Acumula-se areia em um monte com forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o</p><p>volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do</p><p>monte é de 4 m?</p><p>5</p><p>RESPOSTAS</p><p>A)</p><p>01) r2</p><p>02) 6x + 6</p><p>03) 2aw</p><p>04)</p><p>4x2</p><p>3</p><p>05) 18x2 + 6x + 12</p><p>06) 14x + 27</p><p>07) – 27x8 + 30x4 + 4x3</p><p>08)</p><p>2)3x5(</p><p>20</p><p></p><p></p><p>09) 2x</p><p>10) 90x5 – 25x4 – 36x3 + 9x2 – 12x + 2</p><p>11) 7(2ax + b)</p><p>12) – 24u2 + 8au + 2a</p><p>13)</p><p>2)1x3(</p><p>14</p><p></p><p></p><p>14)</p><p>2)1t(</p><p>2</p><p></p><p>15)</p><p>2</p><p>2</p><p>)1t(</p><p>4t6t3</p><p></p><p></p><p>16)</p><p>2</p><p>2</p><p>)2t(</p><p>2t4t</p><p></p><p></p><p>17)</p><p>22</p><p>2</p><p>)x5(</p><p>5x8x</p><p></p><p></p><p>18)</p><p>2)1x(</p><p>6</p><p></p><p></p><p>19)</p><p>2</p><p>22</p><p>)bt(</p><p>aab2bt2t</p><p></p><p></p><p>20)</p><p>65 x</p><p>25</p><p>x</p><p>12</p><p></p><p>21)</p><p>7</p><p>3</p><p>x</p><p>12</p><p>x2 </p><p>22) – 2x</p><p>23) 15t2 (1 – t2)</p><p>24) 4x2 – 1</p><p>25) 2x + 1</p><p>26) 21z (z5 – z + 2)</p><p>27)</p><p>4</p><p>1</p><p>xx2 </p><p>28)</p><p>23 z</p><p>1</p><p>z</p><p>6</p><p></p><p>29)</p><p>32 t</p><p>8</p><p>t</p><p>2</p><p></p><p>30)</p><p>3x</p><p>10</p><p>10x12 </p><p>31)</p><p>32 s3</p><p>2</p><p>s</p><p>5</p><p></p><p>32)</p><p>2)2x3(</p><p>19</p><p></p><p></p><p>33)</p><p>2)1t(</p><p>3</p><p></p><p></p><p>34)</p><p>2</p><p>2</p><p>)5,0x(</p><p>4xx</p><p></p><p></p><p>35)</p><p>22</p><p>2</p><p>)t1(</p><p>1t2t</p><p></p><p></p><p>36)</p><p>2x</p><p>1x2 </p><p>6</p><p>37) 2x3 – 3x – 1</p><p>38)</p><p>2</p><p>3</p><p>x</p><p>7x2 </p><p>39)</p><p>)1x3)(1x3(</p><p>2x3</p><p></p><p></p><p>40)</p><p>x2</p><p>1</p><p>x3</p><p>1</p><p>3 2</p><p></p><p>41) 2</p><p>3 2</p><p>x18</p><p>x3</p><p>1</p><p></p><p>42)</p><p>22</p><p>2</p><p>)1x(</p><p>1x</p><p></p><p></p><p>43)</p><p>x2</p><p>1</p><p>)4x2(6x8 27 </p><p>44) 1</p><p>45)</p><p>2</p><p>2</p><p>)3x5(</p><p>)5x6x5(3</p><p></p><p></p><p>46)</p><p> 21xx2</p><p>x1</p><p></p><p></p><p>47)</p><p>)3x)(3x(</p><p>x3</p><p>22 </p><p></p><p>48)</p><p>2)1x(</p><p>1</p><p>5</p><p></p><p></p><p>49)</p><p>2)1x3(</p><p>14</p><p></p><p></p><p>50)</p><p>42</p><p>22</p><p>)3t2(</p><p>)21t4t14()1t7(3</p><p></p><p></p><p>51)</p><p>xx6</p><p>xx3 3</p><p>52)</p><p>3 2 2x6x3</p><p>)1x(4</p><p></p><p></p><p>53)</p><p>224 3</p><p>224 3</p><p>)3x(x4</p><p>3x7)x3(x4</p><p></p><p></p><p>7</p><p>B) 16x – 8y + 1 = 0</p><p>C) 80 π (m3/s)</p><p>D)</p><p>1) – 80 pés/s</p><p>2) v(2) = – 64 pés/s e v(3) = – 96 pés/s</p><p>3) Aproximadamente 5,89s</p><p>4) Aproximadamente 188,5 pés/s</p><p>E)</p><p> 23x</p><p>5</p><p></p><p>F) 5π m2/m</p><p>G)</p><p>1) 19,6 m</p><p>2) 19,6 m/s e 9,8 m/s2</p><p>H)</p><p>1) 400 pés</p><p>2) 96 pés/s e – 96 pés/s</p><p>3) – 32 pés/s2</p><p>4) 10 s</p><p>I) 2x + y = 0</p><p>J)</p><p>1) 5,5</p><p>2) 8 m2</p><p>K) m = 6 / (2, – 4)</p><p>L)</p><p>1) 48 pessoas por dia</p><p>2) 0</p><p>3) Aproximadamente 43 pessoas</p><p>M)</p><p>3x2</p><p>1</p><p></p><p>N)</p><p>1) 350 e 200</p><p>2) 200</p><p>O) Sim / (0,</p><p>2); (2, 10); (– 2, 10)</p><p>P)</p><p>1) – 7500 l/hora</p><p>8</p><p>2) – 720 l/hora</p><p>3) 38750 litros</p><p>Q) 48 unidades de área/unidade de tempo</p><p>R) 42 π cm/s</p><p>S) – 400 unidades/s</p><p>T) 5 m2/h</p>