Para encontrar o inverso multiplicativo da expressão \( (a \cdot b^{-1}) \cdot a^{-1} \), precisamos entender como funcionam os inversos em um anel. 1. Identificar a expressão: A expressão dada é \( (a \cdot b^{-1}) \cdot a^{-1} \). 2. Simplificar a expressão: Podemos reescrever isso como \( a \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) \). 3. Encontrar o inverso multiplicativo: O inverso multiplicativo de um produto é o produto dos inversos, ou seja, o inverso de \( a \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) \) seria \( (b \cdot a) \). Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( b \cdot (a \cdot b \cdot a^{-1}) \) - Não é a forma correta do inverso. b) \( (a \cdot b^{-1} \cdot a^{-1}) \) - Esta é a expressão original, não o inverso. c) \( (a^{-1} \cdot b \cdot a) \) - Esta também não é a forma correta do inverso. d) Não existe o inverso multiplicativo - Isso não é verdade, pois o inverso existe. Nenhuma das alternativas apresentadas parece ser a correta, mas a forma correta do inverso multiplicativo da expressão dada não está claramente listada. Portanto, a resposta correta é que não existe uma alternativa que represente corretamente o inverso multiplicativo. Assim, a resposta correta é: não existe o inverso multiplicativo.