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Dê um contraexemplo para provar que o subconjunto H = {(x, y) |x2 + y2 ≤ 1} ⊂ R2 não é subespaço vetorial.

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Lista de Espaços Vetoriais

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Para provar que o subconjunto \( H = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 1\} \) não é um subespaço vetorial, precisamos mostrar que ele não satisfaz uma das propriedades de um subespaço. Um contraexemplo simples é pegar os vetores \( v_1 = (1, 0) \) e \( v_2 = (0, 1) \). Ambos pertencem a \( H \) porque: - Para \( v_1 \): \( 1^2 + 0^2 = 1 \leq 1 \) - Para \( v_2 \): \( 0^2 + 1^2 = 1 \leq 1 \) Agora, vamos verificar se a soma \( v_1 + v_2 = (1, 1) \) pertence a \( H \): - Para \( (1, 1) \): \( 1^2 + 1^2 = 2 \not\leq 1 \) Como a soma de dois vetores em \( H \) não está em \( H \), concluímos que \( H \) não é um subespaço vetorial.

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Seja V o primeiro quadrante do plano xy, ou seja, V = {(x, y) |x ≥ 0, y ≥ 0}.
Mostre que se u e v são vetores em V, então u + v pertence em V. No entanto, podemos determinar um vetor w ∈ V e um escalar c de tal maneira que cw não pertence a V. Assim, concluímos que V não é um subespaço vetorial de R2.

O deslocamento y de uma massa m, presa na extremidade de uma mola puxada para baixo e liberada, em relação à sua posição de repouso é dado por uma função da forma y(t) = c1 cos(ωt) + c2 sen(ωt).
Sabendo que ω é uma constante, mostre que o conjunto de todas as funções descritas por (1), com ω fixo e c1 e c2 arbitrários, é um subespaço vetorial do espaço das funções contínuas.

Explique o porquê Rn−1 não é subespaço vetorial Rn, n ≥ 2.

Verifique se W = {(x, y) ∈ R2|x = y} é subespaço de R2.

Verifique se W = {(x, y, z) ∈ R3|z = x2 + y2} é subespaço de R3.

Verifique se W = {(x, y, z, t) ∈ R4;x + y = 0 e z − t = 0} é subespaço de R4.

Verifique se W = {A ∈M(2, 2) : det(A) = 1} é subespaço de M(2, 2).

Verifique se W = {A ∈M(3, 3)|A é simétrica} é subespaço de M(3, 3).

Verifique se W = {p(t) ∈ P2; p(1) = 0} é subespaço de P2.