Vamos analisar as asserções I e II para determinar a relação entre elas. I. A integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = (z, 3xz, y²) sobre o retângulo C limitado pelos planos X = 0, X = 1, y = 0 e y = 2 no plano Z = X + y, com orientação positiva, terá como produto escalar entre o rotacional e vetor normal o escalar: 6x + y - 1. II. O rotacional do campo F é determinado por rot(F) = (2y, 3x, 1, 3z), enquanto o vetor normal é n = (-1, -1, 1). Agora, vamos verificar a veracidade de cada afirmação: 1. Verificando o rotacional do campo F: - O rotacional de um campo vetorial F = (P, Q, R) é dado por: \[ \text{rot}(F) = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \] - Para F(x, y, z) = (z, 3xz, y²): - P = z, Q = 3xz, R = y² - Calculando as derivadas: - \(\frac{\partial R}{\partial y} = 2y\) - \(\frac{\partial Q}{\partial z} = 3x\) - \(\frac{\partial P}{\partial z} = 1\) - \(\frac{\partial R}{\partial x} = 0\) - \(\frac{\partial Q}{\partial x} = 3z\) - \(\frac{\partial P}{\partial y} = 0\) - Portanto, o rotacional é: \[ \text{rot}(F) = (2y - 3x, 1 - 0, 3x - 0) = (2y - 3x, 1, 3z) \] 2. Verificando o vetor normal: - O vetor normal n = (-1, -1, 1) parece estar correto, mas precisamos verificar se ele está orientado corretamente em relação à superfície. 3. Verificando a afirmação I: - O produto escalar entre o rotacional e o vetor normal deve ser calculado. Se o rotacional é (2y - 3x, 1, 3z) e n = (-1, -1, 1), o produto escalar é: \[ (2y - 3x)(-1) + 1(-1) + 3z(1) = -2y + 3x - 1 + 3z \] - A expressão dada na afirmação I (6x + y - 1) não corresponde ao resultado do produto escalar. Conclusão: - A afirmação I é falsa, pois o produto escalar não é igual a 6x + y - 1. - A afirmação II é verdadeira, pois o rotacional foi calculado corretamente. Portanto, a relação entre as asserções é que a I é falsa e a II é verdadeira. A resposta correta é que a relação entre as asserções é: A I é falsa e a II é verdadeira.