Em que base r o número decimal 79 equivale ao número 142?

Para descobrir em que base \( r \) o número decimal 79 equivale ao número 142, precisamos expressar o número 142 na base \( r \). O número 142 na base \( r \) pode ser escrito como: \[ 1 \cdot r^2 + 4 \cdot r^1 + 2 \cdot r^0 \] Isso se simplifica para: \[ r^2 + 4r + 2 \] Agora, igualamos isso a 79: \[ r^2 + 4r + 2 = 79 \] Subtraindo 79 de ambos os lados, temos: \[ r^2 + 4r - 77 = 0 \] Agora, podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = 4 \) e \( c = -77 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324 \] Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-4 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{-4 \pm 18}{2} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \( r = \frac{14}{2} = 7 \) 2. \( r = \frac{-22}{2} = -11 \) (não é uma base válida) Portanto, a base \( r \) em que o número decimal 79 equivale ao número 142 é \( r = 7 \).