Determine a solução do sistema de equações pelo Método de Gauss-Jordan. -3x+4y-2z=-9 -2x+5y-z=-8 -×+y-3z=-5

Para resolver o sistema de equações pelo Método de Gauss-Jordan, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e, em seguida, aplicar as operações necessárias para chegar à forma reduzida. As equações são: 1. \(-3x + 4y - 2z = -9\) 2. \(-2x + 5y - z = -8\) 3. \(-x + y - 3z = -5\) A matriz aumentada correspondente é: \[ \begin{bmatrix} -3 & 4 & -2 & | & -9 \\ -2 & 5 & -1 & | & -8 \\ -1 & 1 & -3 & | & -5 \end{bmatrix} \] Agora, vamos aplicar o Método de Gauss-Jordan: 1. Primeira linha: Multiplicamos a primeira linha por \(-\frac{1}{3}\) para facilitar os cálculos. \[ \begin{bmatrix} 1 & -\frac{4}{3} & \frac{2}{3} & | & 3 \\ -2 & 5 & -1 & | & -8 \\ -1 & 1 & -3 & | & -5 \end{bmatrix} \] 2. Eliminação: Usamos a primeira linha para eliminar \(x\) das outras linhas. - Para a segunda linha: \(L_2 + 2L_1\) - Para a terceira linha: \(L_3 + L_1\) Após essas operações, a matriz se torna: \[ \begin{bmatrix} 1 & -\frac{4}{3} & \frac{2}{3} & | & 3 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & | & -2 \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{7}{3} & | & -2 \end{bmatrix} \] 3. Segunda linha: Multiplicamos a segunda linha por 3 para simplificar. \[ \begin{bmatrix} 1 & -\frac{4}{3} & \frac{2}{3} & | & 3 \\ 0 & 1 & 1 & | & -6 \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{7}{3} & | & -2 \end{bmatrix} \] 4. Eliminação novamente: Usamos a segunda linha para eliminar \(y\) da primeira e terceira linhas. - Para a primeira linha: \(L_1 + \frac{4}{3}L_2\) - Para a terceira linha: \(L_3 + \frac{1}{3}L_2\) Após essas operações, a matriz se torna: \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & | & -5 \\ 0 & 1 & 1 & | & -6 \\ 0 & 0 & -2 & | & -4 \end{bmatrix} \] 5. Terceira linha: Multiplicamos a terceira linha por \(-\frac{1}{2}\). \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & | & -5 \\ 0 & 1 & 1 & | & -6 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \] 6. Substituição: Agora, vamos substituir \(z\) na segunda e primeira linhas. - Para a segunda linha: \(L_2 - L_3\) - Para a primeira linha: \(L_1 - 3L_3\) A matriz final é: \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -11 \\ 0 & 1 & 0 & | & -8 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \] Portanto, a solução do sistema é: \[ x = -11, \quad y = -8, \quad z = 2 \]