Para resolver a EDO dada, vamos seguir os passos solicitados: 1. Verificar se a EDO é exata: A EDO é da forma \( M(x, y) + N(x, y) y' = 0 \), onde: - \( M(x, y) = 3x^2 + 2xy + y^3 \) - \( N(x, y) = x^2 + y^2 \) Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais: - \( \frac{\partial M}{\partial y} = 2x + 3y^2 \) - \( \frac{\partial N}{\partial x} = 2x \) Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), a EDO não é exata. 2. Encontrar o fator integrante \( \mu(x) \): Para encontrar um fator integrante que dependa apenas de \( x \), usamos a fórmula: \[ \mu(x) = \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} \] Substituindo: \[ \mu(x) = \frac{(2x + 3y^2) - 2x}{x^2 + y^2} = \frac{3y^2}{x^2 + y^2} \] Como o fator integrante não depende apenas de \( x \), precisamos de um fator que torne a EDO exata. Um fator integrante comum para EDOs não exatas é \( \mu(x) = \frac{1}{N} \). 3. Encontrar a solução geral da EDO: Multiplicando a EDO pelo fator integrante, podemos reescrever a EDO e integrá-la para encontrar a solução geral. 4. Encontrar a solução particular do PVI: Após encontrar a solução geral, substituímos \( y(0) = 1 \) para encontrar a constante de integração. 5. Alternativa correta: Para determinar a alternativa correta, você precisaria fornecer as opções disponíveis. Se precisar de mais detalhes em algum dos passos, é só avisar!