Para encontrar os autovalores da matriz \( A = \begin{bmatrix} -3 & 9 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \), precisamos calcular o determinante da matriz \( A - \lambda I \), onde \( \lambda \) é o autovalor e \( I \) é a matriz identidade. 1. A matriz \( A - \lambda I \) é: \[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} -3 - \lambda & 9 \\ -2 & 3 - \lambda \end{bmatrix} \] 2. O determinante é dado por: \[ \text{det}(A - \lambda I) = (-3 - \lambda)(3 - \lambda) - (9)(-2) \] 3. Calculando o determinante: \[ = (-3 - \lambda)(3 - \lambda) + 18 \] \[ = \lambda^2 + 3\lambda - 9 \] 4. Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero: \[ \lambda^2 + 3\lambda - 9 = 0 \] 5. Usando a fórmula de Bhaskara: \[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1, b = 3, c = -9 \): \[ \lambda = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2} \] \[ = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2} \] \[ = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2} \] Portanto, os autovalores do sistema são: \[ \lambda_1 = \frac{-3 + 3\sqrt{5}}{2} \quad \text{e} \quad \lambda_2 = \frac{-3 - 3\sqrt{5}}{2} \]