Se são dados os vetores i, u e w, eles determinam um sólido geométrico denominado paralelepípedo, cujas seis faces são paralelogramos. O volume desse sólido pode ser determinado a partir do módulo de um produto denominado produto misto. Para isso, basta dispor os vetores em linhas (ou colunas), calcular o determinante e, em seguida, o módulo do número encontrado. Nesse contexto, calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores й = 31 0 — 3 , й = 1 2 1 e พี= 1 1

Question

Se são dados os vetores i, u e w, eles determinam um sólido geométrico denominado paralelepípedo, cujas seis faces são paralelogramos. O volume des...

Ed · Answer

Para calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $ \mathbf{i} = \begin{pmatrix} 3 \ 1 \ -3 \end{pmatrix} $, $ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} $ e $ \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} $, você deve calcular o determinante da matriz formada por esses vetores.

A matriz é:

$$
A = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \
1 & 2 & 1 \
-3 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$

Agora, calcule o determinante $ |A| $:

$$
|A| = 3 \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-3) \cdot 2)
$$

$$
|A| = 3 \cdot (0 - 1) - 1 \cdot (0 + 3) + 1 \cdot (1 + 6)
$$

$$
|A| = 3 \cdot (-1) - 3 + 7
$$

$$
|A| = -3 - 3 + 7 = 1
$$

O volume do paralelepípedo é o módulo do determinante:

$$
V = | |A| | = |1| = 1
$$

Portanto, o volume do paralelepípedo é $ 1 $ unidade cúbica.

Geometria Analítica

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