Para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea \( y'' + y' - 2y = 0 \), precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação. 1. Encontrar a equação característica: A equação característica associada é \( r^2 + r - 2 = 0 \). 2. Resolver a equação característica: Usando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Isso nos dá as raízes \( r_1 = 1 \) e \( r_2 = -2 \). 3. Solução geral: A solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t} \] 4. Aplicar as condições iniciais: - Para \( y(0) = 1 \): \[ C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = 1 \implies C_1 + C_2 = 1 \] - Para \( y'(0) = 1 \): \[ y'(t) = C_1 e^{t} - 2C_2 e^{-2t} \] Avaliando em \( t = 0 \): \[ C_1 - 2C_2 = 1 \] Agora temos um sistema de duas equações: 1. \( C_1 + C_2 = 1 \) 2. \( C_1 - 2C_2 = 1 \) Resolvendo esse sistema: - Da primeira equação, \( C_1 = 1 - C_2 \). - Substituindo na segunda: \[ (1 - C_2) - 2C_2 = 1 \implies 1 - 3C_2 = 1 \implies -3C_2 = 0 \implies C_2 = 0 \] - Substituindo \( C_2 = 0 \) na primeira equação: \[ C_1 + 0 = 1 \implies C_1 = 1 \] Portanto, a solução particular é: \[ y(t) = e^{t} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( y = e^{t} - 2e^{-2t} \) b) \( y = e^{t} \) c) \( y = e^{t} - 2e^{-2t} \) d) \( y = e^{t} + 2e^{-2t} \) A alternativa correta é: b) \( y = e^{t} \).