Para determinar a probabilidade de um divisor de \(21!\) ser ímpar, precisamos considerar quantos divisores ímpares existem em relação ao total de divisores. Primeiro, vamos analisar \(21!\): - O número \(21!\) é o produto de todos os números de 1 a 21. Isso inclui números pares (como 2, 4, 6, etc.) e ímpares (como 1, 3, 5, etc.). - Para que um divisor de \(21!\) seja ímpar, ele não pode incluir o fator 2. Agora, vamos calcular a quantidade de fatores de 2 em \(21!\): - Os fatores de 2 em \(21!\) podem ser contados usando a fórmula de Legendre: \[ \text{Número de fatores de 2} = \left\lfloor \frac{21}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{21}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{21}{8} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{21}{16} \right\rfloor = 10 + 5 + 2 + 1 = 18 \] Assim, \(21!\) pode ser expresso como: \[ 21! = 2^{18} \times \text{(outros fatores)} \] Os divisores de \(21!\) podem ser formados a partir dos fatores de \(21!\). Para cada fator de 2, temos duas opções: incluí-lo ou não. Portanto, a quantidade total de divisores de \(21!\) é dada por: \[ (18 + 1) \times (\text{número de fatores ímpares}) \] onde \(18 + 1\) é a quantidade de opções para o fator 2 (incluir ou não). Para os divisores ímpares, não consideramos o fator 2, então a quantidade de divisores ímpares é simplesmente o número de divisores formados pelos fatores ímpares. A probabilidade de escolher um divisor ímpar é dada pela razão entre o número de divisores ímpares e o total de divisores. Como a quantidade de divisores ímpares é a metade dos divisores totais (já que a inclusão do fator 2 divide os divisores em pares e ímpares), a probabilidade de escolher um divisor ímpar é: \[ \text{Probabilidade} = \frac{\text{Divisores ímpares}}{\text{Total de divisores}} = \frac{1}{2} \] Portanto, a resposta correta é: D) 1/2.