A derivada de uma função 1$y=f(x)$ aplicada a um ponto 2$P$ é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva 3$y=f(x)$ no ponto 4$P$. Sendo ass

Question

A derivada de uma função 1$y=f(x)$ aplicada a um ponto 2$P$ é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva 3$y=f(x)$ no ponto 4$P$. Sendo assim, é possível encontrar as equações da reta tangente e da reta normal. Nesse contexto, encontre 5as equações da reta tangente e da reta normal à curva $\mathbf{y = f(x) = 3x^4 - 2x^2 - 1}$, no ponto $\mathbf{P(1, -1)}$, e analise as afirmativas a seguir:I. A equação da reta tangente é igual a $y = -2x - 1$.II. A equação da reta normal é igual a $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta normal.IV. A derivada da função $y = f'(x)$ é igual a $f'(x) = 12x^3 - 2$, portanto, o coeficiente angular da reta normal é igual a $\frac{1}{2}$.

Ed · Answer

Vamos analisar cada afirmativa passo a passo.

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = 3x^4 - 2x^2 - 1 $:

1. **Derivada**:
   $$
   f'(x) = 12x^3 - 4x
   $$

2. **Avaliação da derivada no ponto $ P(1, -1) $**:
   $$
   f'(1) = 12(1)^3 - 4(1) = 12 - 4 = 8
   $$
   Portanto, o coeficiente angular da reta tangente no ponto $ P $ é 8.

3. **Equação da reta tangente**:
   A equação da reta tangente pode ser escrita na forma $ y - y_0 = m(x - x_0) $, onde $ m $ é o coeficiente angular e $ (x_0, y_0) $ é o ponto $ P(1, -1) $:
   $$
   y + 1 = 8(x - 1) \implies y = 8x - 8 - 1 \implies y = 8x - 9
   $$

4. **Equação da reta normal**:
   O coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso do coeficiente angular da reta tangente:
   $$
   m_{\text{normal}} = -\frac{1}{8}
   $$
   Usando o ponto $ P(1, -1) $:
   $$
   y + 1 = -\frac{1}{8}(x - 1) \implies y + 1 = -\frac{1}{8}x + \frac{1}{8} \implies y = -\frac{1}{8}x - 1 + \frac{1}{8} \implies y = -\frac{1}{8}x - \frac{7}{8}
   $$

Agora, vamos analisar as afirmativas:

I. A equação da reta tangente é igual a $ y = -2x - 1 $. **FALSO** (a reta tangente é $ y = 8x - 9 $).

II. A equação da reta normal é igual a $ y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} $. **FALSO** (a reta normal é $ y = -\frac{1}{8}x - \frac{7}{8} $).

III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta normal. **FALSO** (a afirmativa está confusa, mas parece que deveria dizer "da reta tangente", e mesmo assim, o correto é que o coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso do coeficiente angular da reta tangente).

IV. A derivada da função $ y = f'(x) $ é igual a $ f'(x) = 12x^3 - 2 $, portanto, o coeficiente angular da reta normal é igual a $ \frac{1}{2} $. **FALSO** (a derivada correta é $ f'(x) = 12x^3 - 4x $ e o coeficiente angular da reta normal é $ -\frac{1}{8} $).

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