$$\begin{aligned}& x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \leq 15 \\& x_{i} \geq 1(\text{ para } i=1 \text{ a } 5) \\& x_{i} \in N\end{aligned}$$

Para resolver a inequação \( x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \leq 15 \) com as condições \( x_{i} \geq 1 \) (para \( i=1 \) a \( 5 \)) e \( x_{i} \in \mathbb{N} \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Substituição: Como cada \( x_i \) deve ser pelo menos 1, podemos fazer a substituição \( y_i = x_i - 1 \). Assim, temos \( y_i \geq 0 \) e a nova inequação se torna: \[ (y_1 + 1) + (y_2 + 1) + (y_3 + 1) + (y_4 + 1) + (y_5 + 1) \leq 15 \] Simplificando, obtemos: \[ y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 \leq 10 \] 2. Contagem de soluções: Agora, precisamos contar as soluções não negativas para a inequação \( y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 \leq 10 \). Podemos transformar isso em uma equação adicionando uma variável de folga \( y_6 \): \[ y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 10 \] onde \( y_6 \geq 0 \). 3. Aplicando o Teorema dos Coeficientes: O número de soluções não negativas para a equação \( y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 10 \) pode ser encontrado usando a fórmula de combinação: \[ C(n+k-1, k-1) \] onde \( n \) é a soma (10) e \( k \) é o número de variáveis (6). Assim, temos: \[ C(10 + 6 - 1, 6 - 1) = C(15, 5) \] 4. Cálculo: Calculando \( C(15, 5) \): \[ C(15, 5) = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = 3003 \] Portanto, o número total de soluções inteiras não negativas para a inequação original é 3003.