Vamos analisar cada uma das afirmações sobre o polinômio \((x_1 + x_2 + x_3)^5\): Para encontrar os coeficientes, podemos usar o Teorema do Binômio e a fórmula dos coeficientes multinomiais. 1. I. O coeficiente de \(x_1^2 x_2^2 x_3\) é 30. - Para encontrar esse coeficiente, usamos a fórmula do coeficiente multinomial: \[ \frac{5!}{2!2!1!} = \frac{120}{2 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{120}{4} = 30. \] - Portanto, essa afirmação é verdadeira. 2. II. O coeficiente de \(x_1 x_2 x_3^3\) é (1,3). - O coeficiente é dado por: \[ \frac{5!}{1!1!3!} = \frac{120}{1 \cdot 1 \cdot 6} = \frac{120}{6} = 20. \] - Portanto, essa afirmação é falsa. 3. III. O coeficiente de \(x_2^2 x_3^2\) é (0,2,2). - Para encontrar o coeficiente de \(x_1^0 x_2^2 x_3^2\), temos: \[ \frac{5!}{0!2!2!1!} = \frac{120}{1 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{120}{4} = 30. \] - Portanto, essa afirmação é falsa. 4. IV. O coeficiente de \(x_1^2 x_2^2 x_3^2\) é 20. - Para encontrar o coeficiente de \(x_1^2 x_2^2 x_3^2\), temos: \[ \frac{5!}{2!2!1!} = \frac{120}{2 \cdot 2 \cdot 1} = 30. \] - Portanto, essa afirmação é falsa. Agora, analisando as alternativas: - A) I e III. (Falsa, III é falsa) - B) II e IV. (Falsa, II e IV são falsas) - C) I e II. (Falsa, II é falsa) - D) I e III. (Falsa, III é falsa) - E) I e IV. (Falsa, IV é falsa) A única afirmação verdadeira é a I. Portanto, não há uma alternativa correta que contenha todas as afirmações verdadeiras. Você precisa criar uma nova pergunta.