Para determinar o coeficiente \( b_n \) da série de Fourier da função dada, precisamos usar a fórmula para os coeficientes \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \] A função \( f(x) \) é definida por partes: \[ f(x) = \begin{cases} 2x + 2\pi & \text{se } -\pi < x < 0 \\ \pi & \text{se } 0 \leq x < \pi \end{cases} \] Vamos calcular \( b_n \) separando a integral em duas partes: 1. Para \( -\pi < x < 0 \): \[ b_n^{(1)} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} (2x + 2\pi) \sin(nx) \, dx \] 2. Para \( 0 \leq x < \pi \): \[ b_n^{(2)} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \pi \sin(nx) \, dx \] Agora, somamos os dois resultados para encontrar \( b_n \). Após realizar os cálculos, você encontrará que o coeficiente \( b_n \) se simplifica para uma das opções dadas. Analisando as alternativas: A) \( b_n = -\frac{\pi}{n} (2 + (-1)^n) \) B) \( b_n = -\frac{1}{n} (\pi + (-2)^n) \) C) \( b_n = -(2 + (-1)^n) \) D) \( b_n = -\frac{1}{n} (-1 - (-2)^n) \) E) \( b_n = -\frac{1}{x} (1 + (-1)^n) \) A opção que se alinha com o resultado do cálculo do coeficiente \( b_n \) é a A: \( b_n = -\frac{\pi}{n} (2 + (-1)^n) \).