Para resolver essa questão, vamos definir as variáveis e seguir os passos necessários. 1. Definições: - Seja \( x \) a largura do galinheiro (lado paralelo ao muro). - Seja \( y \) o comprimento do galinheiro (lado perpendicular ao muro). 2. Custo da cerca: - O custo do lado paralelo ao muro (comprimento \( x \)) é \( 5x \). - O custo dos dois lados perpendiculares ao muro (comprimento \( y \)) é \( 10y \) cada, totalizando \( 20y \). - O custo total da cerca é: \[ C = 5x + 20y \] - O orçamento é de R$ 800,00, então: \[ 5x + 20y = 800 \] 3. Área do galinheiro: - A área \( A \) do galinheiro é dada por: \[ A = x \cdot y \] 4. Isolando uma variável: - Da equação do custo, podemos isolar \( y \): \[ 20y = 800 - 5x \implies y = \frac{800 - 5x}{20} = 40 - \frac{x}{4} \] 5. Substituindo na fórmula da área: - Agora, substituímos \( y \) na fórmula da área: \[ A = x \left(40 - \frac{x}{4}\right) = 40x - \frac{x^2}{4} \] 6. Maximizando a área: - Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza a área, derivamos \( A \) em relação a \( x \) e igualamos a zero: \[ \frac{dA}{dx} = 40 - \frac{x}{2} = 0 \implies x = 80 \] 7. Encontrando \( y \): - Substituindo \( x = 80 \) na equação de \( y \): \[ y = 40 - \frac{80}{4} = 40 - 20 = 20 \] 8. Dimensões do galinheiro: - Portanto, as dimensões do galinheiro são: - Largura \( x = 80 \) metros - Comprimento \( y = 20 \) metros Assim, o fazendeiro deve construir um galinheiro com 80 metros de largura e 20 metros de comprimento para maximizar a área dentro do orçamento de R$ 800,00.