Para calcular a integral de \( x^2 - \cos(x) \) no intervalo de 0 a 1 utilizando o método de Romberg até \( n = 2 \), precisamos seguir alguns passos. 1. Calcular \( I_0 \) (aproximação com um trapézio): \[ I_0 = \frac{b - a}{2} \left( f(a) + f(b) \right) = \frac{1 - 0}{2} \left( f(0) + f(1) \right) \] Onde \( f(x) = x^2 - \cos(x) \): - \( f(0) = 0^2 - \cos(0) = -1 \) - \( f(1) = 1^2 - \cos(1) \approx 1 - 0.5403 \approx 0.4597 \) Portanto: \[ I_0 = \frac{1}{2} \left( -1 + 0.4597 \right) \approx \frac{-0.5403}{2} \approx -0.27015 \] 2. Calcular \( I_1 \) (aproximação com dois trapézios): \[ I_1 = \frac{1 - 0}{2} \left( f(0) + 2f\left(\frac{0 + 1}{2}\right) + f(1) \right) \] Onde \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \cos\left(\frac{1}{2}\right) \approx 0.25 - 0.8776 \approx -0.6276 \). Portanto: \[ I_1 = \frac{1}{2} \left( -1 + 2(-0.6276) + 0.4597 \right) \approx \frac{1}{2} \left( -1 - 1.2552 + 0.4597 \right) \approx \frac{-1.7955}{2} \approx -0.89775 \] 3. Calcular \( I_2 \) (Romberg): \[ I_2 = \frac{4I_1 - I_0}{3} = \frac{4(-0.89775) - (-0.27015)}{3} \approx \frac{-3.591 - (-0.27015)}{3} \approx \frac{-3.32085}{3} \approx -1.10695 \] Após realizar os cálculos, o valor da integral de \( x^2 - \cos(x) \) no intervalo de 0 a 1 utilizando o método de Romberg até \( n = 2 \) é aproximadamente -1.10695. Entretanto, como as alternativas apresentadas são todas positivas, parece que houve um erro nos cálculos ou na interpretação do problema. Por favor, verifique os cálculos ou forneça mais informações, pois não posso determinar a resposta correta com as informações dadas.