Para determinar a massa da lâmina, você precisa calcular a integral dupla da densidade de massa superficial sobre a região S. A densidade é dada por \( \sigma(x, y) = 2x + 4y \). 1. Defina a região S: A partir da descrição, parece que a região S é definida por \( 0 \leq y < 4 \) e \( 0 \leq x < f(y) \), onde \( f(y) \) deve ser especificada. Se não houver uma função específica, você pode assumir um limite para \( x \). 2. Monte a integral: A massa \( M \) da lâmina é dada por: \[ M = \iint_S \sigma(x, y) \, dA \] onde \( dA = dx \, dy \). 3. Substitua a densidade: \[ M = \iint_S (2x + 4y) \, dx \, dy \] 4. Calcule a integral: Dependendo dos limites de integração para \( x \) e \( y \), você deve calcular a integral. Por exemplo, se \( x \) varia de 0 a uma função \( f(y) \) e \( y \) varia de 0 a 4, a integral se torna: \[ M = \int_0^4 \int_0^{f(y)} (2x + 4y) \, dx \, dy \] 5. Resolva a integral interna (em relação a \( x \)): \[ \int_0^{f(y)} (2x + 4y) \, dx = \left[ x^2 + 4yx \right]_0^{f(y)} = f(y)^2 + 4yf(y) \] 6. Substitua na integral externa e resolva em relação a \( y \): \[ M = \int_0^4 (f(y)^2 + 4yf(y)) \, dy \] 7. Calcule a integral para encontrar a massa total. Se você tiver a função específica para \( f(y) \), substitua-a e calcule a integral para obter a massa da lâmina.