Para a produção de uma peça, utilizam-se três máquinas: M , M e M . As proporções de peças defeituosas geradas por essas máquinas, M , M e M são, resp

Question

Para a produção de uma peça, utilizam-se três máquinas: M , M e M . As proporções de peças defeituosas geradas por essas máquinas, M , M e M são, respectivamente, 1%, 2% e 0,1%, e as três máquinas produzem, respectivamente, 30%, 50% e 20% da produção total. Se uma peça defeituosa é retirada aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela ter sido oriunda da máquina 3?

Ed · Answer

Para resolver essa questão, podemos usar o Teorema de Bayes. Vamos definir as variáveis:

- $ P(D|M_3) $: Probabilidade de uma peça ser defeituosa dada que ela veio da máquina 3.
- $ P(M_3) $: Probabilidade de uma peça ter sido produzida pela máquina 3.
- $ P(D) $: Probabilidade total de uma peça ser defeituosa.

1. **Probabilidades das máquinas**:
   - $ P(M_1) = 0,30 $ (30%)
   - $ P(M_2) = 0,50 $ (50%)
   - $ P(M_3) = 0,20 $ (20%)

2. **Probabilidades de defeito**:
   - $ P(D|M_1) = 0,01 $ (1%)
   - $ P(D|M_2) = 0,02 $ (2%)
   - $ P(D|M_3) = 0,001 $ (0,1%)

3. **Cálculo de $ P(D) $**:
   $$
   P(D) = P(D|M_1) \cdot P(M_1) + P(D|M_2) \cdot P(M_2) + P(D|M_3) \cdot P(M_3)
   $$
   $$
   P(D) = (0,01 \cdot 0,30) + (0,02 \cdot 0,50) + (0,001 \cdot 0,20)
   $$
   $$
   P(D) = 0,003 + 0,01 + 0,0002 = 0,0132
   $$

4. **Cálculo de $ P(M_3|D) $** usando o Teorema de Bayes:
   $$
   P(M_3|D) = \frac{P(D|M_3) \cdot P(M_3)}{P(D)}
   $$
   $$
   P(M_3|D) = \frac{0,001 \cdot 0,20}{0,0132}
   $$
   $$
   P(M_3|D) = \frac{0,0002}{0,0132} \approx 0,01515
   $$

Portanto, a probabilidade de que uma peça defeituosa tenha sido produzida pela máquina 3 é aproximadamente 1,515%.

Elementos de Máquinas

Respostas

Ainda com dúvidas?

Mais conteúdos dessa disciplina