Para determinar os valores reais \( a \) e \( b \) que fazem com que os polinômios sejam divisíveis por \( x + 1 \), precisamos aplicar o Teorema do Resto. Segundo esse teorema, se um polinômio \( P(x) \) é divisível por \( x + 1 \), então \( P(-1) = 0 \). Vamos analisar os dois polinômios: 1. Para o primeiro polinômio \( P_1(x) = x^3 - 2ax^2 + (3a + b)x - 3b \): \[ P_1(-1) = (-1)^3 - 2a(-1)^2 + (3a + b)(-1) - 3b = -1 - 2a - 3a - b - 3b = -1 - 5a - 4b \] Para ser divisível por \( x + 1 \), devemos ter: \[ -1 - 5a - 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad 5a + 4b = -1 \quad \text{(1)} \] 2. Para o segundo polinômio \( P_2(x) = x^3 - (a + 2b)x + 2a \): \[ P_2(-1) = (-1)^3 - (a + 2b)(-1) + 2a = -1 + a + 2b + 2a = -1 + 3a + 2b \] Para ser divisível por \( x + 1 \), devemos ter: \[ -1 + 3a + 2b = 0 \quad \Rightarrow \quad 3a + 2b = 1 \quad \text{(2)} \] Agora, temos um sistema de duas equações: 1. \( 5a + 4b = -1 \) 2. \( 3a + 2b = 1 \) Vamos resolver esse sistema. Multiplicando a segunda equação por 2, temos: \[ 6a + 4b = 2 \quad \text{(3)} \] Agora, subtraímos a equação (1) da equação (3): \[ (6a + 4b) - (5a + 4b) = 2 - (-1) \] \[ a = 3 \] Substituindo \( a = 3 \) na equação (2): \[ 3(3) + 2b = 1 \quad \Rightarrow \quad 9 + 2b = 1 \quad \Rightarrow \quad 2b = 1 - 9 \quad \Rightarrow \quad 2b = -8 \quad \Rightarrow \quad b = -4 \] Portanto, temos \( a = 3 \) e \( b = -4 \). Ambos são números inteiros, sendo que um é positivo e o outro é negativo. Assim, a alternativa correta é: c) números inteiros, sendo que um é positivo e o outro é negativo.