No polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx + c, sabe-se que p(i) = 0 (i2 = -1) e que os coeficientes reais a, b e c são tais que 1 + a + b + c = 0. Então o resto da divisão de p(x) por x é:
a) 2
b) -2
c) -1
d) 1
e) 0
f) Não sei.

Question

No polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx + c, sabe-se que p(i) = 0 (i2 = -1) e que os coeficientes reais a, b e c são tais que 1 + a + b + c = 0. Então o ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar as informações dadas.

1. Temos o polinômio $ p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $.
2. Sabemos que $ p(i) = 0 $, ou seja, $ i $ é uma raiz do polinômio. Isso significa que $ p(i) = i^3 + ai^2 + bi + c = 0 $.
3. Como $ i^2 = -1 $, podemos calcular $ i^3 = i \cdot i^2 = i \cdot (-1) = -i $. Portanto, substituindo na equação:
   $$
   -i + a(-1) + bi + c = 0 \implies -i - a + bi + c = 0.
   $$
   Separando as partes reais e imaginárias, temos:
   - Parte imaginária: $ -1 + b = 0 $ → $ b = 1 $.
   - Parte real: $ -a + c = 0 $ → $ c = a $.

4. A condição $ 1 + a + b + c = 0 $ se torna:
   $$
   1 + a + 1 + a = 0 \implies 2a + 2 = 0 \implies 2a = -2 \implies a = -1.
   $$
   Assim, $ b = 1 $ e $ c = -1 $.

5. Agora, substituindo os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ no polinômio:
   $$
   p(x) = x^3 - x^2 + x - 1.
   $$

6. Para encontrar o resto da divisão de $ p(x) $ por $ x $, precisamos calcular $ p(0) $:
   $$
   p(0) = 0^3 - 0^2 + 0 - 1 = -1.
   $$

Portanto, o resto da divisão de $ p(x) $ por $ x $ é $ -1 $.

A alternativa correta é: c) -1.

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O polinômio x4 + x2 - 2x + 6 admite 1 + i como raiz, onde i2 = -1. O número de raízes reais deste polinômio é:
a) 0
b) 1
c) 3
d) 4
e) Não sei.

Se x = 1 é a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que
a) a < 0.
b) a <1.
c) a > 0.
d) a > 1.
e) Não sei.

Se p(2) = 0 e p(-2) = 0, então as raízes do polinômio p(x) são
a) -2, 0, 1 e 2.
b) -2, -1, 2 e 3.
c) -2, -1, 1 e 2.
d) -2, -1, 0 e 2.
e) -3, -2, 1 e 2.
f) Não sei.

Se α, β e γ são as raízes da equação x3 + x2 + px + q = 0, onde p e q são coeficientes reais e α = 1 - 2i é uma das raízes dessa equação, então α β γ é igual a
a) 15
b) 9
c) -15
d) -12
e) -9
f) Não sei.

As raízes do polinômio p(x) = x3 + 5x2 + 4x são
a) -4, -1 e 0.
b) -4, 0 e 1.
c) -4, 0 e 4.
d) -1, 0 e 1.
e) 0, 1 e 4.
f) Não sei.

As raízes da equação x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0, colocadas em ordem crescente, são os três primeiros termos de uma progressão aritmética cuja soma dos 20 primeiros termos é
a) 500
b) 480
c) 260
d) 400
e) 350
f) Não sei.

Um polinómio de 5º grau com coeficientes reais que admite os números complexos -2 + i e 1 - 2i ; como raízes, admite
a) no máximo mais uma raiz complexa.
b) 2 - i e - 1+ 2i como raízes.
c) uma raiz real.
d) duas raízes reais distintas.
e) três raízes reais distintas.
f) Não sei.

Sendo z1 e z2 as raízes não reais da equação algébrica x3 + 5x2 + 2x + 10 = 0, o produto z1z2 resulta em um número
a) natural.
b) inteiro negativo.
c) racional não inteiro.
d) irracional.
e) complexo não real.
f) Não sei.

As três raízes de 9x3 - 31x - 10 = 0 são p, q e 2. O valor de p2 + q2 é:
a) 5/9
b) 10/9
c) 20/9
d) 26/9
e) 31/9
f) Não sei.

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O polinômio x4 + x2 - 2x + 6 admite 1 + i como raiz, onde i2 = -1. O número de raízes reais deste polinômio é:a) 0b) 1c) 3d) 4e) Não sei.

Se x = 1 é a única raiz real de p(x), então podemos afirmar quea) a < 0.b) a <1.c) a > 0.d) a > 1.e) Não sei.

Se p(2) = 0 e p(-2) = 0, então as raízes do polinômio p(x) sãoa) -2, 0, 1 e 2.b) -2, -1, 2 e 3.c) -2, -1, 1 e 2.d) -2, -1, 0 e 2.e) -3, -2, 1 e 2.f) Não sei.

Se α, β e γ são as raízes da equação x3 + x2 + px + q = 0, onde p e q são coeficientes reais e α = 1 - 2i é uma das raízes dessa equação, então α β γ é igual aa) 15b) 9c) -15d) -12e) -9f) Não sei.

As raízes do polinômio p(x) = x3 + 5x2 + 4x sãoa) -4, -1 e 0.b) -4, 0 e 1.c) -4, 0 e 4.d) -1, 0 e 1.e) 0, 1 e 4.f) Não sei.

As raízes da equação x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0, colocadas em ordem crescente, são os três primeiros termos de uma progressão aritmética cuja soma dos 20 primeiros termos éa) 500b) 480c) 260d) 400e) 350f) Não sei.

Um polinómio de 5º grau com coeficientes reais que admite os números complexos -2 + i e 1 - 2i ; como raízes, admitea) no máximo mais uma raiz complexa.b) 2 - i e - 1+ 2i como raízes.c) uma raiz real.d) duas raízes reais distintas.e) três raízes reais distintas.f) Não sei.

Sendo z1 e z2 as raízes não reais da equação algébrica x3 + 5x2 + 2x + 10 = 0, o produto z1z2 resulta em um númeroa) natural.b) inteiro negativo.c) racional não inteiro.d) irracional.e) complexo não real.f) Não sei.

As três raízes de 9x3 - 31x - 10 = 0 são p, q e 2. O valor de p2 + q2 é:a) 5/9b) 10/9c) 20/9d) 26/9e) 31/9f) Não sei.

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a) 0
b) 1
c) 3
d) 4
e) Não sei.

Se x = 1 é a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que
a) a < 0.
b) a <1.
c) a > 0.
d) a > 1.
e) Não sei.

Se p(2) = 0 e p(-2) = 0, então as raízes do polinômio p(x) são
a) -2, 0, 1 e 2.
b) -2, -1, 2 e 3.
c) -2, -1, 1 e 2.
d) -2, -1, 0 e 2.
e) -3, -2, 1 e 2.
f) Não sei.

Se α, β e γ são as raízes da equação x3 + x2 + px + q = 0, onde p e q são coeficientes reais e α = 1 - 2i é uma das raízes dessa equação, então α β γ é igual a
a) 15
b) 9
c) -15
d) -12
e) -9
f) Não sei.

As raízes do polinômio p(x) = x3 + 5x2 + 4x são
a) -4, -1 e 0.
b) -4, 0 e 1.
c) -4, 0 e 4.
d) -1, 0 e 1.
e) 0, 1 e 4.
f) Não sei.

As raízes da equação x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0, colocadas em ordem crescente, são os três primeiros termos de uma progressão aritmética cuja soma dos 20 primeiros termos é
a) 500
b) 480
c) 260
d) 400
e) 350
f) Não sei.

Um polinómio de 5º grau com coeficientes reais que admite os números complexos -2 + i e 1 - 2i ; como raízes, admite
a) no máximo mais uma raiz complexa.
b) 2 - i e - 1+ 2i como raízes.
c) uma raiz real.
d) duas raízes reais distintas.
e) três raízes reais distintas.
f) Não sei.

Sendo z1 e z2 as raízes não reais da equação algébrica x3 + 5x2 + 2x + 10 = 0, o produto z1z2 resulta em um número
a) natural.
b) inteiro negativo.
c) racional não inteiro.
d) irracional.
e) complexo não real.
f) Não sei.

As três raízes de 9x3 - 31x - 10 = 0 são p, q e 2. O valor de p2 + q2 é:
a) 5/9
b) 10/9
c) 20/9
d) 26/9
e) 31/9
f) Não sei.