Para resolver a questão, precisamos calcular o produto misto \([u, w, v]\) e o produto escalar \(u \cdot v\), e então igualá-los conforme a condição dada. 1. Cálculo do produto escalar \(u \cdot v\): \[ u \cdot v = (k, k, k) \cdot (2, 2, 1) = 2k + 2k + k = 5k \] 2. Cálculo do produto misto \([u, w, v]\): O produto misto é dado por \([u, w, v] = u \cdot (w \times v)\). Primeiro, precisamos calcular \(w \times v\). \[ w \times v = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ w \times v = \hat{i}((-1) \cdot 1 - 2 \cdot 2) - \hat{j}(2 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + \hat{k}(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 2) \] \[ = \hat{i}(-1 - 4) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(4 + 2) \] \[ = \hat{i}(-5) + \hat{j}(2) + \hat{k}(6) \] \[ = (-5, 2, 6) \] Agora, calculamos \(u \cdot (w \times v)\): \[ u \cdot (w \times v) = (k, k, k) \cdot (-5, 2, 6) = k(-5) + k(2) + k(6) = -5k + 2k + 6k = 3k \] 3. Igualando o produto misto ao produto escalar somado a 6: \[ 3k = 5k + 6 \] Resolvendo a equação: \[ 3k - 5k = 6 \implies -2k = 6 \implies k = -3 \] Portanto, o valor de \(k\) é \(\boxed{-3}\).