Para calcular a taxa de variação da temperatura \( T'(t) \), precisamos primeiro derivar a função \( T(t) \). A função dada é: \[ T(t) = 50 + 30(1 - e^{-0,05t}) \] Derivando \( T(t) \): \[ T'(t) = 30 \cdot 0,05 e^{-0,05t} \] \[ T'(t) = 1,5 e^{-0,05t} \] Agora, vamos calcular \( T'(t) \) nos instantes \( t = 0 \), \( t = 10 \) e \( t = 40 \) minutos. 1. Para \( t = 0 \): \[ T'(0) = 1,5 e^{-0,05 \cdot 0} = 1,5 e^{0} = 1,5 \, \text{ºC/min} \] 2. Para \( t = 10 \): \[ T'(10) = 1,5 e^{-0,05 \cdot 10} = 1,5 e^{-0,5} \approx 1,5 \cdot 0,6065 \approx 0,90975 \, \text{ºC/min} \] 3. Para \( t = 40 \): \[ T'(40) = 1,5 e^{-0,05 \cdot 40} = 1,5 e^{-2} \approx 1,5 \cdot 0,1353 \approx 0,203 \, \text{ºC/min} \] Agora, para estimar o tempo necessário para que a taxa de variação seja menor que \( 0,05 \, \text{ºC/min} \): \[ 1,5 e^{-0,05t} < 0,05 \] Dividindo ambos os lados por 1,5: \[ e^{-0,05t} < \frac{0,05}{1,5} \] \[ e^{-0,05t} < \frac{1}{30} \] Aplicando o logaritmo natural: \[ -0,05t < \ln\left(\frac{1}{30}\right) \] \[ t > -\frac{\ln\left(\frac{1}{30}\right)}{0,05} \] Calculando: \[ \ln\left(\frac{1}{30}\right) \approx -3,4012 \] \[ t > -\frac{-3,4012}{0,05} \approx 68,024 \] Portanto, o tempo aproximado necessário para que o equipamento atinja a condição de estabilização térmica é de cerca de 68 minutos.