Determine a integral curvilínea da função complexah(z) = 2t + it2no intervalo [0,1]. Dado quee são partes real e imaginária da função complexa.

Para determinar a integral curvilínea da função complexa \( h(z) = 2t + it^2 \) no intervalo \([0, 1]\), precisamos primeiro parametrizar a curva. Vamos considerar \( z(t) = t + it^2 \), onde \( t \) varia de 0 a 1. A integral curvilínea é dada por: \[ \int_C h(z) \, dz \] onde \( dz = \frac{dz}{dt} dt \). Calculamos \( \frac{dz}{dt} \): \[ z(t) = t + it^2 \implies \frac{dz}{dt} = 1 + 2it \] Agora, substituímos \( h(z) \) e \( dz \) na integral: \[ \int_0^1 h(z(t)) \frac{dz}{dt} dt = \int_0^1 (2t + it^2)(1 + 2it) dt \] Agora, expandimos a expressão: \[ (2t + it^2)(1 + 2it) = 2t + 4it^2 + it^2 + 2it^3 = 2t + 5it^2 + 2it^3 \] Assim, a integral se torna: \[ \int_0^1 (2t + 5it^2 + 2it^3) dt \] Agora, integramos cada termo separadamente: 1. \(\int_0^1 2t \, dt = [t^2]_0^1 = 1\) 2. \(\int_0^1 5it^2 \, dt = 5i \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1 = \frac{5i}{3}\) 3. \(\int_0^1 2it^3 \, dt = 2i \left[\frac{t^4}{4}\right]_0^1 = \frac{2i}{4} = \frac{i}{2}\) Agora, somamos os resultados: \[ 1 + \frac{5i}{3} + \frac{i}{2} \] Para somar as partes imaginárias, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 3 e 2 é 6: \[ \frac{5i}{3} = \frac{10i}{6}, \quad \frac{i}{2} = \frac{3i}{6} \] Portanto, a parte imaginária total é: \[ \frac{10i}{6} + \frac{3i}{6} = \frac{13i}{6} \] Assim, a integral curvilínea é: \[ 1 + \frac{13i}{6} \] Portanto, a resposta final é: \[ \int_C h(z) \, dz = 1 + \frac{13i}{6} \]