Seja f : R → R definida por ⎪⎧ −x − 1, se x ≤ −1 f(x) = ⎨ −x2 + 1, se − 1 < x < 1 x − 1, se x ≥ 1 , o conjunto imagem de f é dado por:

Para encontrar o conjunto imagem da função \( f \), precisamos analisar cada parte da função separadamente. 1. Para \( x \leq -1 \): \[ f(x) = -x - 1 \] Quando \( x = -1 \), \( f(-1) = -(-1) - 1 = 0 \). À medida que \( x \) diminui, \( f(x) \) aumenta sem limites. Portanto, a imagem para essa parte é \( [0, +\infty) \). 2. Para \( -1 < x < 1 \): \[ f(x) = -x^2 + 1 \] Essa é uma parábola invertida. O valor máximo ocorre em \( x = 0 \): \[ f(0) = -0^2 + 1 = 1 \] Quando \( x \) se aproxima de \( -1 \) ou \( 1 \), \( f(x) \) se aproxima de \( 0 \). Portanto, a imagem para essa parte é \( (0, 1] \). 3. Para \( x \geq 1 \): \[ f(x) = x - 1 \] Quando \( x = 1 \), \( f(1) = 1 - 1 = 0 \). À medida que \( x \) aumenta, \( f(x) \) também aumenta sem limites. Portanto, a imagem para essa parte é \( [0, +\infty) \). Agora, juntando todas as partes, temos: - Para \( x \leq -1 \): \( [0, +\infty) \) - Para \( -1 < x < 1 \): \( (0, 1] \) - Para \( x \geq 1 \): \( [0, +\infty) \) Assim, o conjunto imagem de \( f \) é: \[ [0, +\infty) \]