Vamos calcular o índice de esbeltez do pilar passo a passo. Dados: - Comprimento do pilar, L = 3 m = 3000 mm - Seção transversal retangular: 200 mm x 400 mm - Extremidades rotuladas (coeficiente de comprimento efetivo k = 1) O índice de esbeltez (λ) é dado por: \[ \lambda = \frac{L_{ef}}{r} \] onde: - \(L_{ef} = k \times L = 1 \times 3000 = 3000 \, mm\) - \(r\) é o raio de giração da seção na direção que gera o maior índice de esbeltez (menor raio de giração) O raio de giração \(r\) é: \[ r = \sqrt{\frac{I}{A}} \] Para seção retangular: - Área \(A = b \times h = 200 \times 400 = 80.000 \, mm^2\) - Momento de inércia \(I\) em relação ao eixo que gera menor raio de giração (menor \(r\)): Temos dois momentos de inércia: \[ I_x = \frac{b h^3}{12} = \frac{200 \times 400^3}{12} = \frac{200 \times 64.000.000}{12} = \frac{12.800.000.000}{12} = 1.066.666.667 \, mm^4 \] \[ I_y = \frac{h b^3}{12} = \frac{400 \times 200^3}{12} = \frac{400 \times 8.000.000}{12} = \frac{3.200.000.000}{12} = 266.666.667 \, mm^4 \] Agora calculamos os raios de giração: \[ r_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}} = \sqrt{\frac{1.066.666.667}{80.000}} = \sqrt{13.333,33} \approx 115,47 \, mm \] \[ r_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} = \sqrt{\frac{266.666.667}{80.000}} = \sqrt{3.333,33} \approx 57,74 \, mm \] O menor raio de giração é \(r_y = 57,74 \, mm\), que gera o maior índice de esbeltez. Calculando o índice de esbeltez: \[ \lambda = \frac{3000}{57,74} \approx 51,96 \] Agora, vamos analisar as alternativas que estão em função de \(\sqrt{12}\): \[ \sqrt{12} \approx 3,464 \] Dividindo o índice de esbeltez calculado por \(\sqrt{12}\): \[ \frac{51,96}{3,464} \approx 15 \] Ou seja, \[ \lambda = 15 \times \sqrt{12} \] Portanto, a alternativa correta é: C) 15 √ 12