Resolva a equação √(5− √(5− x)) = x, com 0 < x < 5.

Vamos resolver a equação passo a passo: Equação: \[ \sqrt{5 - \sqrt{5 - x}} = x, \quad 0 < x < 5 \] Passo 1: Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz externa: \[ 5 - \sqrt{5 - x} = x^2 \] Passo 2: Isolar a raiz interna: \[ \sqrt{5 - x} = 5 - x^2 \] Como a raiz quadrada é sempre não negativa, temos: \[ 5 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 5 \implies -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \] Como \(0 < x < 5\), essa condição é válida. Passo 3: Elevar ambos os lados ao quadrado novamente para eliminar a raiz: \[ 5 - x = (5 - x^2)^2 \] Passo 4: Expandir o lado direito: \[ 5 - x = (5 - x^2)^2 = 25 - 10x^2 + x^4 \] Passo 5: Colocar todos os termos em um lado: \[ 0 = 25 - 10x^2 + x^4 - 5 + x \] \[ 0 = x^4 - 10x^2 + x + 20 \] Passo 6: Temos a equação polinomial: \[ x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0 \] Passo 7: Procurar raízes reais no intervalo \(0 < x < 5\). Vamos testar valores racionais: - Para \(x=1\): \[ 1 - 10 + 1 + 20 = 12 \neq 0 \] - Para \(x=2\): \[ 16 - 40 + 2 + 20 = -2 \neq 0 \] - Para \(x=3\): \[ 81 - 90 + 3 + 20 = 14 \neq 0 \] - Para \(x=4\): \[ 256 - 160 + 4 + 20 = 120 \neq 0 \] - Para \(x=5\): \[ 625 - 250 + 5 + 20 = 400 \neq 0 \] Passo 8: Como não encontramos raízes inteiras, vamos tentar fatorar ou usar métodos numéricos. Passo 9: Testar \(x=2.5\): \[ (2.5)^4 - 10(2.5)^2 + 2.5 + 20 = 39.06 - 62.5 + 2.5 + 20 = -0.94 \approx 0 \] Passo 10: Testar \(x=2.6\): \[ (2.6)^4 - 10(2.6)^2 + 2.6 + 20 = 45.7 - 67.6 + 2.6 + 20 = 0.7 > 0 \] Entre 2.5 e 2.6 a função muda de sinal, logo há uma raiz nesse intervalo. Passo 11: Aproximação da raiz: Usando método da bisseção, a raiz aproximada é cerca de \(x \approx 2.55\). Passo 12: Verificar se essa raiz satisfaz a equação original: \[ \sqrt{5 - \sqrt{5 - 2.55}} \approx \sqrt{5 - \sqrt{2.45}} \approx \sqrt{5 - 1.56} = \sqrt{3.44} \approx 1.85 \] Mas \(x = 2.55\), não bate. Então, essa raiz não satisfaz a equação original. Passo 13: Reavaliar o passo 2: Na equação \[ \sqrt{5 - x} = 5 - x^2 \] o lado direito deve ser \(\geq 0\), e o lado esquerdo \(\geq 0\). Mas também, o lado direito deve ser \(\geq 0\), e o lado esquerdo é \(\geq 0\). Além disso, \(5 - x^2 \geq 0\) e \(\sqrt{5 - x} \geq 0\). Passo 14: Testar \(x=1\): \[ \sqrt{5 - \sqrt{5 - 1}} = \sqrt{5 - \sqrt{4}} = \sqrt{5 - 2} = \sqrt{3} \approx 1.732 \] Não é igual a 1. Passo 15: Testar \(x= \sqrt{5} \approx 2.236\): \[ \sqrt{5 - \sqrt{5 - 2.236}} = \sqrt{5 - \sqrt{2.764}} = \sqrt{5 - 1.662} = \sqrt{3.338} \approx 1.828 \] Não é igual a 2.236. Passo 16: Testar \(x=1.5\): \[ \sqrt{5 - \sqrt{5 - 1.5}} = \sqrt{5 - \sqrt{3.5}} = \sqrt{5 - 1.87} = \sqrt{3.13} \approx 1.77 \] Não é igual a 1.5. Passo 17: Testar \(x= \approx 1.84\): \[ \sqrt{5 - \sqrt{5 - 1.84}} = \sqrt{5 - \sqrt{3.16}} = \sqrt{5 - 1.78} = \sqrt{3.22} \approx 1.795 \] Próximo, mas não exato. Passo 18: Conclusão: A única solução real que satisfaz a equação e o domínio \(0 < x < 5\) é aproximadamente \[ x \approx 1.84 \] --- Resposta final: \[ \boxed{x \approx 1,84} \] Essa é a solução aproximada da equação no intervalo dado.